номер 2, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Составим систему:

$$\begin{cases} x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0 \\ x^2 - 25 \neq 0 \end{cases}$$

1. Найдем область допустимых значений (условие неравенства знаменателя нулю):

$$x^2 - 25 \neq 0$$

$$(x - 5)(x + 5) \neq 0$$

$$x \neq 5 \quad \text{и} \quad x \neq -5$$

2. Приравняем числитель к нулю и решим уравнение методом группировки:

$$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0$$

$$(x^3 - 5x^2) - (4x - 20) = 0$$

Вынесем общие множители за скобки:

$$x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$$

$$(x^2 - 4)(x - 5) = 0$$

Разложим первую скобку по формуле разности квадратов:

$$(x - 2)(x + 2)(x - 5) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$$

$$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$$

$$x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$$

3. Сопоставим полученные корни с ОДЗ:

Корень $x = 5$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель дроби обращается в ноль ($x \neq 5$).

Корни $x = 2$ и $x = -2$ удовлетворяют условию $x \neq \pm 5$.

Ответ: $-2;\; 2$