номер 5, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

5.Решение:

Составим уравнение по условию задачи:

$$\frac{2b + 1}{b + 3} + \frac{b + 3}{b - 1} = \frac{9 + 7b}{b^2 + 2b - 3}$$

Разложим знаменатель дроби в правой части на множители. Для этого решим квадратное уравнение $b^2 + 2b - 3 = 0$ по теореме Виета: корни $b_1 = 1$, $b_2 = -3$. Следовательно:

$$b^2 + 2b - 3 = (b + 3)(b - 1)$$

Область допустимых значений (ОДЗ):
Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, поэтому:

• $b + 3 \neq 0 \implies b \neq -3$
• $b - 1 \neq 0 \implies b \neq 1$

Перепишем уравнение с учетом разложения знаменателя:

$$\frac{2b + 1}{b + 3} + \frac{b + 3}{b - 1} = \frac{9 + 7b}{(b + 3)(b - 1)}$$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(b + 3)(b - 1) \neq 0$:

$$(2b + 1)(b - 1) + (b + 3)^2 = 9 + 7b$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$2b^2 - 2b + b - 1 + b^2 + 6b + 9 = 9 + 7b$$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$$3b^2 + 5b + 8 = 9 + 7b$$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$$3b^2 + 5b - 7b + 8 - 9 = 0$$

$$3b^2 - 2b - 1 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$$

$$b_1 = \frac{-(-2) + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$b_2 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Проверка с учетом ОДЗ:
Значение $b_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($b \neq 1$), следовательно, является посторонним корнем.
Значение $b_2 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $b = -\frac{1}{3}$