номер 1, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$6x^2 - 11x - 2 < 0$

Решение:

Найдем нули квадратного трехчлена, решив квадратное уравнение $6x^2 - 11x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2$$

Графиком функции $y = 6x^2 - 11x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a = 6 > 0$). Трехчлен принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{6}; 2\right)$

б)$x^2 - 8x + 16 \leqslant 0$

Решение:

Преобразуем левую часть неравенства с помощью формулы квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$(x - 4)^2 \leqslant 0$$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 4)^2 \geqslant 0$ при любых $x$. Следовательно, данное неравенство может выполняться только в том случае, когда выражение равно нулю:

$$(x - 4)^2 = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$$

Ответ: $x = 4$

в)$5x - x^2 \leqslant 0$

Решение:

Найдем корни соответствующего уравнения:

$$5x - x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$x(5 - x) = 0$$

$$x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 5 - x = 0 \implies x_2 = 5$$

Графиком функции $y = -x^2 + 5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$). Значения функции неположительны вне отрезка между корнями (включая сами корни, так как знак неравенства нестрогий).

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$