номер 4, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\sqrt{(4 - x)(3x + 4,5)}$
Решение:
Арифметический квадратный корень имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Составим и решим неравенство:
$$(4 - x)(3x + 4,5) \ge 0$$

Найдем нули функции $f(x) = (4 - x)(3x + 4,5)$:
$4 - x = 0 \implies x_1 = 4$
$3x + 4,5 = 0 \implies 3x = -4,5 \implies x_2 = -1,5$

Для удобства вынесем минус из первой скобки и разделим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$$-(x - 4)(3x + 4,5) \ge 0$$ $$(x - 4)(3x + 4,5) \le 0$$

Применим метод интервалов. Нанесем полученные точки на числовую прямую (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое):
Знаки на интервалах $(-\infty; -1,5)$, $(-1,5; 4)$ и $(4; +\infty)$ распределяются следующим образом: плюс, минус, плюс. Нам нужен промежуток, где выражение меньше либо равно нулю, то есть со знаком «минус».
Получаем: $x \in [-1,5; 4]$ или $-1,5 \le x \le 4$.

Ответ: $x \in [-1,5; 4]$.

б) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 9}}$
Решение:
В данном выражении присутствуют корень и дробь. Выражение имеет смысл при выполнении двух условий:

• подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 6x + 9 \ge 0$;
• знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^2 - 6x + 9} \ne 0$.

Объединяя эти условия, получаем строгое неравенство:
$$x^2 - 6x + 9 > 0$$

Свернем квадратный трехчлен по формуле квадрата разности $(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2)$:
$$(x - 3)^2 > 0$$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ при любых $x$. Выражение обращается в ноль только при $x = 3$. Следовательно, строго больше нуля оно будет при любых значениях $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $x \ne 3$ (или $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$).