номер 2, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $(x + 2)(x - 6) < 0$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = (x + 2)(x - 6)$ и применим метод интервалов.

1. Найдем нули функции, решив уравнение $(x + 2)(x - 6) = 0$:
$x + 2 = 0$ или $x - 6 = 0$
$x_1 = -2$, $x_2 = 6$.

2. Нанесем полученные точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут выколотыми. Они разбивают числовую ось на три промежутка:
$(-\infty; -2)$, $(-2; 6)$, $(6; +\infty)$.

3. Определим знаки функции на каждом интервале методом пробных точек:

• для интервала $(6; +\infty)$ возьмем $x = 7$: $(7 + 2)(7 - 6) = 9 \cdot 1 = 9 > 0$ (знак $+$);
• для интервала $(-2; 6)$ возьмем $x = 0$: $(0 + 2)(0 - 6) = 2 \cdot (-6) = -12 < 0$ (знак $-$);
• для интервала $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $(-3 + 2)(-3 - 6) = (-1) \cdot (-9) = 9 > 0$ (знак $+$).

Так как знак неравенства $< 0$, выбираем промежуток со знаком «$-$».

Ответ: $x \in (-2; 6)$

б) $\frac{x - 3}{x + 2,5} > 0$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x - 3}{x + 2,5}$.

1. Найдем область определения функции (знаменатель не может быть равен нулю):
$x + 2,5 \neq 0 \implies x \neq -2,5$.

2. Найдем нули функции (числитель равен нулю):
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.

3. Отметим граничные точки $x = -2,5$ и $x = 3$ на числовой прямой выколотыми точками (знак неравенства строгий, а точка $-2,5$ к тому же обнуляет знаменатель).
Точки делят числовую ось на три промежутка:
$(-\infty; -2,5)$, $(-2,5; 3)$, $(3; +\infty)$.

4. Определим знак выражения на каждом из промежутков:

• для промежутка $(3; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $\frac{4 - 3}{4 + 2,5} = \frac{1}{6,5} > 0$ (знак $+$);
• для промежутка $(-2,5; 3)$ возьмем $x = 0$: $\frac{0 - 3}{0 + 2,5} = -\frac{3}{2,5} = -1,2 < 0$ (знак $-$);
• для промежутка $(-\infty; -2,5)$ возьмем $x = -3$: $\frac{-3 - 3}{-3 + 2,5} = \frac{-6}{-0,5} = 12 > 0$ (знак $+$).

Так как знак исходного неравенства $> 0$, выбираем промежутки со знаком «$+$».

Ответ: $x \in (-\infty; -2,5) \cup (3; +\infty)$