номер 2, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$(x + 4)(x - 6{,}5) > 0$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = (x + 4)(x - 6{,}5)$. Найдем нули функции:

$$(x + 4)(x - 6{,}5) = 0$$

$$x + 4 = 0 \quad \text{или} \quad x - 6{,}5 = 0$$

$$x_1 = -4; \quad x_2 = 6{,}5$$

Отметим найденные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Числовая прямая разбивается на три промежутка: $(-\infty; -4)$, $(-4; 6{,}5)$ и $(6{,}5; +\infty)$.

Определим знаки функции на каждом интервале методом пробных точек:

• для $x \in (6{,}5; +\infty)$ возьмем $x = 7$: $(7 + 4)(7 - 6{,}5) = 11 \cdot 0{,}5 > 0$ (знак «$+$»);
• для $x \in (-4; 6{,}5)$ возьмем $x = 0$: $(0 + 4)(0 - 6{,}5) = 4 \cdot (-6{,}5) < 0$ (знак «$-$»);
• для $x \in (-\infty; -4)$ возьмем $x = -5$: $(-5 + 4)(-5 - 6{,}5) = (-1) \cdot (-11{,}5) > 0$ (знак «$+$»).

Так как знак неравенства $> 0$, выбираем промежутки со знаком «$+$».

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (6{,}5; +\infty)$

б)$\frac{5x + 1}{x - 2} < 0$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{5x + 1}{x - 2}$. Найдем нули числителя и знаменателя:

• нули числителя: $5x + 1 = 0 \implies 5x = -1 \implies x = -0{,}2$;
• нули знаменателя (область определения): $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Нанесем граничные точки $x = -0{,}2$ и $x = 2$ на числовую прямую. Неравенство строгое, поэтому обе точки выколотые. Они делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -0{,}2)$, $(-0{,}2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знаки выражения на получившихся интервалах:

• для $x \in (2; +\infty)$ возьмем $x = 3$: $\frac{5 \cdot 3 + 1}{3 - 2} = \frac{16}{1} > 0$ (знак «$+$»);
• для $x \in (-0{,}2; 2)$ возьмем $x = 0$: $\frac{5 \cdot 0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2} < 0$ (знак «$-$»);
• для $x \in (-\infty; -0{,}2)$ возьмем $x = -1$: $\frac{5 \cdot (-1) + 1}{-1 - 2} = \frac{-4}{-3} > 0$ (знак «$+$»).

Нам требуется определить, где выражение принимает значения меньше нуля ($< 0$), то есть выбираем интервал со знаком «$-$».

Ответ: $x \in (-0{,}2; 2)$