Номер 12, страница 102, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 11. Силы трения - номер 12, страница 102.

Условие.

12. Брусок массой $m = 400$ г равномерно перемещают по столу, прикладывая силу $\vec{T}$, направленную под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту (рис. 11.5). Коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0,4$.

а) Перенесите рисунок 11.6 в тетрадь и изобразите на нём все силы, действующие на брусок.

б) Запишите выражения для проекций всех приложенных к бруску сил.

в) Чему равна равнодействующая приложенных к бруску сил?

г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси $\text{x}$, $\text{y}$.

д) Как выражается сила трения скольжения через силу нормальной реакции и коэффициент трения?

е) Используя полученную систему трёх уравнений, выразите $T, N, F_{тр}$ через $m, \alpha, \mu$.

ж) Чему равна по модулю сила $\text{T}$?

Решение.

Дано:

$m = 400 \text{ г}$
$\alpha = 30^\circ$
$\mu = 0,4$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$m = 0,4 \text{ кг}$

Найти:

$T - ?$

Решение:

а) На брусок действуют следующие силы:

• Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, перпендикулярно поверхности стола.
• Приложенная сила $\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.
• Сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную движению.

Ответ: На брусок действуют сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), приложенная сила ($\vec{T}$) и сила трения скольжения ($\vec{F}_{\text{тр}}$).

б) Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена горизонтально по направлению движения, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Тогда проекции сил на эти оси будут равны:

• Проекции силы $\vec{T}$: $T_x = T \cos \alpha$, $T_y = T \sin \alpha$
• Проекции силы тяжести $m\vec{g}$: $(mg)_x = 0$, $(mg)_y = -mg$
• Проекции силы нормальной реакции $\vec{N}$: $N_x = 0$, $N_y = N$
• Проекции силы трения $\vec{F}_{\text{тр}}$: $(F_{\text{тр}})_x = -F_{\text{тр}}$, $(F_{\text{тр}})_y = 0$

Ответ: Проекции сил на оси координат: $T_x = T \cos \alpha, T_y = T \sin \alpha$; $(mg)_x = 0, (mg)_y = -mg$; $N_x = 0, N_y = N$; $(F_{\text{тр}})_x = -F_{\text{тр}}, (F_{\text{тр}})_y = 0$.

в) Согласно условию, брусок перемещают равномерно. Это означает, что его скорость постоянна ($\vec{v} = \text{const}$), а ускорение равно нулю ($\vec{a} = 0$). По второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил $\vec{R}$ равна произведению массы тела на его ускорение: $\vec{R} = m\vec{a}$. Поскольку $\vec{a}=0$, то и равнодействующая сила $\vec{R}=0$.

Ответ: Равнодействующая приложенных к бруску сил равна нулю.

г) Второй закон Ньютона в векторной форме: $\vec{T} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр}} = m\vec{a}$. Так как движение равномерное, $\vec{a}=0$. Запишем закон в проекциях на оси координат:

На ось $Ox$: $T_x + (mg)_x + N_x + (F_{\text{тр}})_x = 0 \implies T \cos \alpha - F_{\text{тр}} = 0$

На ось $Oy$: $T_y + (mg)_y + N_y + (F_{\text{тр}})_y = 0 \implies T \sin \alpha - mg + N = 0$

Ответ:

Проекция на ось $Ox$: $T \cos \alpha - F_{\text{тр}} = 0$

Проекция на ось $Oy$: $T \sin \alpha + N - mg = 0$

д) Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции опоры. Коэффициентом пропорциональности является коэффициент трения $\mu$. Формула имеет вид: $F_{\text{тр}} = \mu N$.

Ответ: $F_{\text{тр}} = \mu N$.

е) Мы получили систему из трех уравнений:

1) $T \cos \alpha - F_{\text{тр}} = 0$

2) $T \sin \alpha + N - mg = 0$

3) $F_{\text{тр}} = \mu N$

Из уравнения (2) выразим $\text{N}$: $N = mg - T \sin \alpha$.

Подставим это выражение для $\text{N}$ в уравнение (3): $F_{\text{тр}} = \mu(mg - T \sin \alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение для $F_{\text{тр}}$ в уравнение (1):

$T \cos \alpha - \mu(mg - T \sin \alpha) = 0$

$T \cos \alpha - \mu mg + \mu T \sin \alpha = 0$

$T(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = \mu mg$

Отсюда выражаем $\text{T}$: $T = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.

Теперь, зная $\text{T}$, найдем выражения для $\text{N}$ и $F_{\text{тр}}$:

$N = mg - \frac{\mu mg \sin \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = \frac{mg(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu mg \sin \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = \frac{mg \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.

Из уравнения (1) $F_{\text{тр}} = T \cos \alpha = \frac{\mu mg \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.

Ответ:

$T = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$

$N = \frac{mg \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$

$F_{\text{тр}} = \frac{\mu mg \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$

ж) Подставим числовые значения в формулу для силы $\text{T}$, полученную в пункте (е):

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0,5$

$T = \frac{0,4 \cdot 0,4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{\cos 30^\circ + 0,4 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{1,568 \text{ Н}}{0,866 + 0,4 \cdot 0,5} = \frac{1,568 \text{ Н}}{0,866 + 0,2} = \frac{1,568 \text{ Н}}{1,066} \approx 1,47 \text{ Н}$

Ответ: $T \approx 1,47 \text{ Н}$.