Номер 5, страница 261 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 41. Закон отражения света. Упражнения - номер 5, страница 261.

Условие.

*5. Лучи света от Солнца падают на Землю, образуя с горизонтом угол $30^\circ$. На Земле стоит цилиндрический бак без крышки, стенки которого вертикальны. Высота бака равна 1 м, диаметр его поперечного сечения — 2 м. На дальнем от Солнца верхнем крае бака закреплено маленькое плоское зеркало так, что отражённый от зеркала солнечный луч попадает в центр дна бака. Найдите угол между плоскостью этого зеркала и горизонтом.

Решение.

Дано:

Угол падения солнечных лучей с горизонтом $\alpha = 30^\circ$

Высота бака $H = 1$ м

Диаметр бака $D = 2$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Радиус бака $R = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостью зеркала и горизонтом.

Решение:

Рассмотрим вертикальное сечение цилиндрического бака, проходящее через его диаметр, центр дна и зеркало. В этом сечении задача становится двумерной.

Пусть точка М — это местоположение зеркала на дальнем от Солнца верхнем крае бака, а точка С — центр дна бака. Солнечные лучи падают слева. Тогда в системе координат, где центр дна C находится в начале (0, 0), точка M будет иметь координаты $(R, H)$.

1. Найдем угол, который отраженный луч образует с горизонтом. Отраженный луч направлен из точки M в точку C. Горизонт параллелен дну бака. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой M, центром дна C и точкой A на краю дна под зеркалом (с координатами $(R, 0)$). В этом треугольнике (MCA) катеты равны высоте бака $\text{H}$ (длина отрезка MA) и радиусу $\text{R}$ (длина отрезка CA). Угол $\beta$ между отраженным лучом (гипотенуза MC) и горизонтом (катет CA) можно найти из соотношения:

$\tan \beta = \frac{MA}{CA} = \frac{H}{R}$

Подставим известные значения:

$\tan \beta = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 1$

Отсюда находим угол $\beta$:

$\beta = \arctan(1) = 45^\circ$

2. Угол падающего солнечного луча с горизонтом по условию равен $\alpha = 30^\circ$.

3. Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения. Эти углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к поверхности зеркала. Нормаль к зеркалу делит угол между падающим и отраженным лучами пополам.

В нашем случае падающий луч образует с горизонталью угол $\alpha=30^\circ$, а отраженный луч образует с горизонталью угол $\beta=45^\circ$. Оба луча находятся под горизонтальной линией, проходящей через зеркало.

Пусть $\theta_N$ — угол, который нормаль к зеркалу образует с горизонталью. Поскольку нормаль является биссектрисой угла между лучами, ее угол с горизонталью будет равен среднему арифметическому углов этих лучей с горизонталью:

$\theta_N = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{30^\circ + 45^\circ}{2} = \frac{75^\circ}{2} = 37.5^\circ$

4. Угол $\phi$, который плоскость зеркала составляет с горизонтом, и угол $\theta_N$, который нормаль к зеркалу составляет с горизонтом, в сумме дают $90^\circ$, так как плоскость зеркала и его нормаль перпендикулярны друг другу.

Найдем искомый угол $\phi$:

$\phi = 90^\circ - \theta_N = 90^\circ - 37.5^\circ = 52.5^\circ$

Ответ: $52.5^\circ$.