Номер 2, страница 266 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 42. Построение изображения в зеркалах. Упражнения - номер 2, страница 266.

Условие.

*2. Постройте изображение светящейся стрелки $\text{AB}$ в плоском зеркале З (рис. 162). Докажите, что длина изображения стрелки равна длине самой стрелки.

Рис. 162

Решение.

Решение

Постройте изображение светящейся стрелки AB в плоском зеркале З (рис. 162).

Изображение в плоском зеркале является мнимым, прямым (неперевернутым), равным по размеру предмету и находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед ним. Линия, соединяющая точку предмета и ее изображение, перпендикулярна поверхности зеркала.

Для построения изображения стрелки $AB$ (обозначим его $A'B'$) необходимо построить изображения ее крайних точек $\text{A}$ и $\text{B}$. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Из точки $\text{A}$, начала стрелки, опускаем перпендикуляр на плоскость зеркала З и продолжаем его за зеркало на такое же расстояние. Точка $A'$, в которой заканчивается продолженный перпендикуляр, является мнимым изображением точки $\text{A}$.

2. Аналогично из точки $\text{B}$, конца стрелки, опускаем перпендикуляр на плоскость зеркала З и продолжаем его за зеркало на такое же расстояние. Точка $B'$, в которой заканчивается продолженный перпендикуляр, является мнимым изображением точки $\text{B}$.

3. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Полученный отрезок $A'B'$ с направлением от $A'$ к $B'$ и является искомым изображением светящейся стрелки $AB$ в плоском зеркале.

Ответ: Изображение стрелки построено путем нахождения изображений ее конечных точек $A'$ и $B'$ и их соединения. Изображение $A'B'$ симметрично стрелке $AB$ относительно плоскости зеркала.

Докажите, что длина изображения стрелки равна длине самой стрелки.

Для доказательства того, что длина изображения $A'B'$ равна длине стрелки $AB$, воспользуемся геометрическим методом.

Пусть $\text{P}$ и $\text{Q}$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $\text{A}$ и $\text{B}$ на прямую, содержащую зеркало З. Тогда, по определению построения изображения в плоском зеркале, отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны зеркалу, а также выполняются равенства: $AP = PA'$ и $BQ = QB'$.

Проведем из точки $\text{A}$ прямую, параллельную зеркалу, до пересечения с прямой $BQ$. Обозначим точку пересечения $\text{C}$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$. В нем катеты равны: $AC = PQ$ и $BC = |BQ - AP|$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $AB$ равен:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = PQ^2 + (|BQ - AP|)^2$

Аналогично проведем из точки $A'$ прямую, параллельную зеркалу, до пересечения с прямой $B'Q$. Обозначим точку пересечения $C'$. Получим прямоугольный треугольник $A'B'C'$. В нем катеты равны: $A'C' = PQ$ и $B'C' = |B'Q - A'P|$. Так как по свойству плоского зеркала $BQ = B'Q$ и $AP = A'P$, то $B'C' = |BQ - AP|$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $A'B'$ равен:

$A'B'^2 = (A'C')^2 + (B'C')^2 = PQ^2 + (|BQ - AP|)^2$

Сравнивая выражения для $AB^2$ и $A'B'^2$, видим, что они равны:

$AB^2 = A'B'^2$

Следовательно, $AB = A'B'$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство длин предмета и его изображения ($AB = A'B'$) доказано с помощью теоремы Пифагора для двух равных прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются предмет и его изображение.