Номер 3, страница 275 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 44. Преломление света в призме. Дисперсия. Упражнения - номер 3, страница 275.

Условие.

*3. Постройте ход луча света, падающего из воздуха на боковую грань равносторонней треугольной стеклянной призмы. Известно, что искомый луч падает на боковую грань призмы под таким углом $\alpha$, что внутри призмы он идёт параллельно её основанию и перпендикулярно рёбрам призмы.

Решение.

Дано:

Равносторонняя треугольная стеклянная призма.
Преломляющий угол призмы $A = 60°$.
Показатель преломления воздуха $n_1 = 1$.
Показатель преломления стекла призмы $n_2 = n$.
Луч света внутри призмы распространяется параллельно её основанию.

Найти:

Построить ход луча света через призму и определить все углы (падения, преломления, выхода).

Решение:

1. Изобразим главное сечение призмы в виде равностороннего треугольника $\triangle ABC$ с углами по $60°$. Пусть $AB$ - основание призмы, а $AC$ и $BC$ - преломляющие грани.

2. Луч света падает на грань $AC$ в точке $\text{D}$, преломляется, проходит внутри призмы по отрезку $DE$ и выходит из призмы в точке $\text{E}$ на грани $BC$. По условию, отрезок $DE$ параллелен основанию $AB$ ($DE \parallel AB$).

3. Определим угол преломления $\beta$ на первой грани. Проведём в точке $\text{D}$ нормаль $N_1$ к грани $AC$. Угол преломления $\beta$ - это угол между лучом $DE$ и нормалью $N_1$.

Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, угол $\angle CAB = 60°$. Так как $DE \parallel AB$, то соответственный угол $\angle CDE = \angle CAB = 60°$. Нормаль $N_1$ перпендикулярна грани $AC$. Угол преломления $\beta$ - это угол между преломленным лучом $DE$ и нормалью. Из геометрии следует, что $\beta = 90° - \angle CDE = 90° - 60° = 30°$.

4. Определим угол падения $\beta'$ на вторую грань. Проведём в точке $\text{E}$ нормаль $N_2$ к грани $BC$. Угол падения $\beta'$ - это угол между лучом $DE$ и нормалью $N_2$.

В треугольнике $\triangle CDE$ нам известны два угла: $\angle DCE = 60°$ (угол при вершине призмы) и $\angle CDE = 60°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $\angle CED = 180° - 60° - 60° = 60°$.

Нормаль $N_2$ перпендикулярна грани $BC$. Аналогично предыдущему пункту, угол падения $\beta' = 90° - \angle CED = 90° - 60° = 30°$.

5. Теперь найдём углы падения $\alpha$ и выхода $\alpha'$ с помощью закона преломления Снеллиуса.

Для первой грани (точка $\text{D}$): $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$.
Подставляя известные значения: $1 \cdot \sin\alpha = n \cdot \sin 30°$.
Отсюда $\sin\alpha = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$.
Угол падения $\alpha = \arcsin(\frac{n}{2})$.

Для второй грани (точка $\text{E}$): $n_2 \sin\beta' = n_1 \sin\alpha'$.
Подставляя известные значения: $n \cdot \sin 30° = 1 \cdot \sin\alpha'$.
Отсюда $\sin\alpha' = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$.
Угол выхода $\alpha' = \arcsin(\frac{n}{2})$.

Таким образом, угол падения равен углу выхода ($\alpha = \alpha'$), что соответствует симметричному ходу луча в призме.

6. Построение хода луча:

а) Рисуем равносторонний треугольник $ABC$.
б) Внутри него проводим отрезок $DE$, параллельный основанию $AB$. Это траектория луча внутри призмы.
в) В точке $\text{D}$ на грани $AC$ проводим нормаль к $AC$.
г) Строим падающий луч так, чтобы угол между ним и нормалью был равен $\alpha = \arcsin(\frac{n}{2})$. Угол преломления между лучом $DE$ и нормалью будет равен $30°$.
д) В точке $\text{E}$ на грани $BC$ проводим нормаль к $BC$.
е) Строим выходящий луч так, чтобы угол между ним и нормалью был равен $\alpha' = \alpha$. Угол падения луча $DE$ на эту грань (угол с нормалью) будет равен $30°$.

Ответ:

Ход луча строится следующим образом: луч падает на боковую грань призмы под углом $\alpha = \arcsin(\frac{n}{2})$ к нормали (где $\text{n}$ - показатель преломления стекла), преломляется под углом $\beta = 30°$ к нормали и движется внутри призмы параллельно её основанию. Затем он падает на вторую грань под углом $\beta' = 30°$ к нормали и выходит из призмы в воздух под углом $\alpha' = \alpha = \arcsin(\frac{n}{2})$ к нормали. Ход луча симметричен относительно биссектрисы преломляющего угла призмы.