Номер 2, страница 275 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 44. Преломление света в призме. Дисперсия. Упражнения - номер 2, страница 275.

Условие.

2. Определите смещение $\text{h}$ луча, выходящего из пластинки, рассмотренной в упражнении 1, зная её толщину $\text{D}$ и относительный показатель преломления $\text{n}$ её материала по отношению к окружающей среде, если угол падения луча равен $\alpha$. Считайте, что $n > 1$.

Решение.

Дано:

Толщина плоскопараллельной пластинки: $\text{D}$

Относительный показатель преломления материала пластинки: $\text{n}$

Угол падения луча: $\alpha$

Найти:

Смещение луча: $\text{h}$

Решение:

При прохождении через плоскопараллельную пластинку луч света смещается, но выходит из нее под тем же углом, под которым вошел, то есть выходящий луч параллелен падающему лучу. Смещение $\text{h}$ — это перпендикулярное расстояние между выходящим лучом и первоначальным направлением падающего луча.

Пусть луч света падает на верхнюю границу пластинки в точке А под углом $\alpha$ к нормали и преломляется, идя внутри пластинки под углом $\beta$ к нормали. Затем луч выходит из пластинки в точке В.

Согласно закону преломления Снеллиуса:

$1 \cdot \sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

Отсюда мы можем выразить синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является путь луча внутри пластинки (отрезок АВ), а одним из катетов — толщина пластинки $\text{D}$. Угол, прилежащий к этому катету, равен углу преломления $\beta$. Тогда длина пути луча внутри пластинки АВ равна:

$AB = \frac{D}{\cos\beta}$

Смещение $\text{h}$ можно найти из другого прямоугольного треугольника, где гипотенузой является отрезок АВ. Смещение $\text{h}$ будет катетом, противолежащим углу $(\alpha - \beta)$. Этот угол представляет собой угол отклонения преломленного луча от первоначального направления.

$h = AB \cdot \sin(\alpha - \beta)$

Подставим выражение для AB в эту формулу:

$h = \frac{D}{\cos\beta} \sin(\alpha - \beta)$

Используем тригонометрическую формулу для синуса разности углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$:

$h = D \frac{\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta}{\cos\beta} = D (\sin\alpha - \cos\alpha \frac{\sin\beta}{\cos\beta}) = D (\sin\alpha - \cos\alpha \tan\beta)$

Теперь необходимо выразить $\tan\beta$ через известные величины $\alpha$ и $\text{n}$. Мы знаем $\sin\beta$. Найдем $\cos\beta$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}$

Тогда тангенс угла преломления равен:

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Подставим полученное выражение для $\tan\beta$ в формулу для смещения $\text{h}$:

$h = D \left( \sin\alpha - \cos\alpha \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}} \right)$

Вынесем $\sin\alpha$ за скобки, чтобы получить окончательный вид формулы:

$h = D \sin\alpha \left( 1 - \frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}} \right)$

Ответ: $h = D \sin\alpha \left( 1 - \frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}} \right)$