Номер 3, страница 278 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения. Упражнения - номер 3, страница 278.

Условие.

3. Определите минимально допустимое значение показателя преломления вещества, из которого изготовлена равнобедренная прямоугольная поворотная призма, показанная на рис. 171.

Рис. 171 Действие поворотных (а) и оборотных (б) призм основано на явлении полного (внутреннего) отражения

Решение.

Дано:

Призма равнобедренная прямоугольная.
Углы призмы: $45^\circ, 90^\circ, 45^\circ$.
Среда, окружающая призму - воздух, показатель преломления $n_{воздуха} \approx 1$.
Луч света падает на катет призмы перпендикулярно его поверхности.

Найти:

Минимально допустимое значение показателя преломления вещества призмы $n_{min}$.

Решение:

Как указано в условии, действие поворотной призмы основано на явлении полного внутреннего отражения. Это явление происходит на границе раздела двух сред (в данном случае, вещество призмы и воздух), когда свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную.
Луч света входит в призму через один из катетов перпендикулярно его поверхности. Согласно закону преломления света, при угле падения, равном $0^\circ$, угол преломления также равен $0^\circ$. Таким образом, луч не меняет своего направления при входе в призму и движется к гипотенузе.
Призма является равнобедренной и прямоугольной, следовательно, её острые углы равны $45^\circ$. Из простых геометрических построений следует, что угол падения $\alpha$ луча на внутреннюю поверхность гипотенузы равен $45^\circ$.
Условием полного внутреннего отражения является то, что угол падения $\alpha$ должен быть не меньше предельного (критического) угла $\alpha_{пр}$:
$\alpha \ge \alpha_{пр}$
Предельный угол $\alpha_{пр}$ можно найти из закона преломления света (закона Снеллиуса), считая, что угол преломления равен $90^\circ$:
$n \cdot \sin \alpha_{пр} = n_{воздуха} \cdot \sin 90^\circ$
Поскольку $n_{воздуха} \approx 1$ и $\sin 90^\circ = 1$, получаем:
$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n}$
Объединяя условия, получаем:
$\sin \alpha \ge \sin \alpha_{пр}$
$\sin 45^\circ \ge \frac{1}{n}$
Отсюда можно выразить $\text{n}$:
$n \ge \frac{1}{\sin 45^\circ}$
Минимально допустимое значение показателя преломления $n_{min}$ соответствует знаку равенства в этом выражении:
$n_{min} = \frac{1}{\sin 45^\circ}$
Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$n_{min} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$n_{min} \approx 1,414$
Ответ: Минимально допустимое значение показателя преломления вещества, из которого изготовлена призма, равно $\sqrt{2}$ (приблизительно 1,414).