Номер 4, страница 278 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения. Упражнения - номер 4, страница 278.

Условие.

*4. В аквариуме на глубине $\text{h}$ горит маленькая лампочка $\text{S}$ (рис. 172).

Рис. 172

На поверхности плавает тонкий деревянный кружок, центр которого расположен на одной вертикали с лампочкой. Определите минимальный диаметр $\text{D}$ кружка, при котором лампочку нельзя увидеть, глядя на поверхность воды сверху.

Решение.

Дано:

Глубина, на которой находится лампочка: $\text{h}$
Показатель преломления жидкости в аквариуме: $\text{n}$ ($n > 1$)
Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Минимальный диаметр кружка $\text{D}$.

Решение:

Для того чтобы лампочку не было видно из любой точки над поверхностью воды, необходимо, чтобы ни один луч света от лампочки не выходил из воды в воздух. Непрозрачный кружок на поверхности воды перекрывает лучи, идущие от лампочки вверх под небольшими углами к вертикали. Лучи, падающие на границу раздела вода-воздух под большими углами, могут испытать явление полного внутреннего отражения и также не выйдут из воды.

Полное внутреннее отражение происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (в данном случае из воды в воздух, так как $n > 1$) и угол падения $\alpha$ превышает некоторый предельный (или критический) угол $\alpha_{пр}$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):
$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$
Для границы вода-воздух имеем $n_1 = n$ и $n_2 = n_{возд} \approx 1$. Предельный угол падения $\alpha_{пр}$ соответствует углу преломления $\beta = 90^\circ$.
$n \sin(\alpha_{пр}) = 1 \cdot \sin(90^\circ)$
Поскольку $\sin(90^\circ) = 1$, получаем выражение для синуса предельного угла:
$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Лучи от лампочки, падающие на поверхность воды под углами $\alpha \geq \alpha_{пр}$, не выйдут наружу. Следовательно, чтобы лампочку не было видно, деревянный кружок должен перекрывать на поверхности воды область, в которую свет от лампочки падает под углами $\alpha < \alpha_{пр}$. Эта область представляет собой круг. Минимальный диаметр кружка $\text{D}$ будет равен диаметру этого светового круга на поверхности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вертикалью от лампочки до центра кружка (катет $\text{h}$), радиусом светового круга $R = D/2$ (второй катет) и лучом света, идущим от лампочки к краю круга (гипотенуза). Угол, противолежащий катету $\text{R}$, как раз является предельным углом падения $\alpha_{пр}$.

Из геометрии этого треугольника имеем:
$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{R}{h} = \frac{D/2}{h}$
Отсюда минимальный диаметр кружка:
$D = 2h \tan(\alpha_{пр})$

Найдем $\tan(\alpha_{пр})$, зная $\sin(\alpha_{пр})$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:
$\cos(\alpha_{пр}) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_{пр})} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$
(Берем положительное значение корня, так как $\alpha_{пр}$ находится в диапазоне от 0 до 90 градусов).

Теперь найдем тангенс:
$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{\sin(\alpha_{пр})}{\cos(\alpha_{пр})} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2 - 1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Подставим полученное выражение для тангенса в формулу для диаметра $\text{D}$:
$D = 2h \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}} = \frac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Ответ: $D = \frac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}}$.