Номер 4, страница 114 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 3. Гравитационные явления. Параграф 26. Движение искусственных спутников. Темы докладов - номер 4, страница 114.

Условие.

4. Запускаем спутник.

Решение.

Запуск спутника — это процесс вывода объекта на орбиту вокруг небесного тела, например, Земли. Чтобы тело стало искусственным спутником, ему необходимо сообщить определённую скорость в горизонтальном направлении на достаточной высоте, чтобы компенсировать притяжение планеты и не упасть обратно. Ключевым понятием здесь является первая космическая скорость.

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная горизонтальная скорость, которую необходимо придать телу у поверхности планеты, чтобы оно вышло на круговую орбиту вокруг неё. При этой скорости сила тяжести, действующая на спутник, полностью расходуется на создание центростремительного ускорения, необходимого для движения по окружности.

Рассмотрим задачу по нахождению этой скорости для планеты Земля.

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли $M_З \approx 5.97 \times 10^{24}$ кг

Средний радиус Земли $R_З \approx 6371$ км

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6371 \text{ км} = 6.371 \times 10^6$ м

Найти:

Первую космическую скорость $v_1$

Решение:

Для того чтобы спутник массой $\text{m}$ двигался по круговой орбите радиусом $\text{r}$ вокруг Земли массой $M_З$, гравитационная сила $F_г$, действующая на него, должна быть равна центростремительной силе $F_ц$.

Запишем второй закон Ньютона для спутника:

$F_г = F_ц$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_г = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на тело, движущееся по окружности со скоростью $\text{v}$:

$F_ц = \frac{m v^2}{r}$

Приравниваем эти два выражения:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$, получим формулу для орбитальной скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Первая космическая скорость — это скорость на орбите, радиус которой практически равен радиусу Земли, то есть $r \approx R_З$.

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Также можно выразить эту скорость через ускорение свободного падения $\text{g}$. У поверхности Земли сила тяжести $\text{mg}$ равна гравитационной силе: $mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$. Отсюда $g = \frac{G M_З}{R_З^2}$ или $G M_З = g R_З^2$.

Подставим это выражение в формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g R_З}$

Теперь подставим числовые значения. Для удобства расчетов часто используют округленное значение радиуса Земли $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6$ м.

$v_1 = \sqrt{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6.4 \times 10^6 \text{ м}} = \sqrt{62.72 \times 10^6 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 7920 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Таким образом, первая космическая скорость для Земли составляет примерно $7.9$ км/с.

Если начальная скорость спутника будет меньше $v_1$, он упадет на Землю по эллиптической траектории. Если скорость будет больше $v_1$, но меньше второй космической скорости ($v_2 \approx 11.2$ км/с), его орбита станет эллиптической. При скорости, равной или большей второй космической, спутник преодолеет притяжение Земли и уйдёт в межпланетное пространство.

Ответ: Для вывода спутника на низкую круговую околоземную орбиту ему необходимо сообщить первую космическую скорость, которая для Земли составляет приблизительно $v_1 \approx 7.9$ км/с.