Обсудить в классе, страница 120 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 3. Гравитационные явления. Параграф 28. Сила тяжести на других планетах. Вопросы - страница 120.

Условие.

Как бы изменился период обращения Луны вокруг Земли, если бы при той же орбите масса Луны была в 2 раза меньше?

Решение.

Решение

Период обращения спутника (в данном случае Луны) вокруг центрального тела (Земли) определяется гравитационным взаимодействием между ними. Сила всемирного тяготения, действующая со стороны Земли на Луну, сообщает Луне центростремительное ускорение, которое удерживает её на круговой орбите.

Запишем второй закон Ньютона для Луны, движущейся по орбите радиусом $\text{R}$ вокруг Земли. Сила гравитационного притяжения $F_g$ равна произведению массы Луны $m_Л$ на её центростремительное ускорение $a_ц$.

$F_g = m_Л a_ц$

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m_Л}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m_Л$ — масса Луны.

Центростремительное ускорение связано с орбитальной скоростью $\text{v}$ и периодом обращения $\text{T}$ следующими соотношениями:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$ и $v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим выражение для скорости в формулу ускорения:

$a_ц = \frac{(2 \pi R / T)^2}{R} = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

Теперь подставим выражения для силы и ускорения в исходное уравнение второго закона Ньютона:

$G \frac{M_З m_Л}{R^2} = m_Л \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

В этом уравнении масса Луны $m_Л$ находится в левой и правой частях, поэтому её можно сократить:

$G \frac{M_З}{R^2} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

Выразим из этого соотношения период обращения $\text{T}$:

$T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M_З}$

$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 R^3}{G M_З}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_З}}$

Как видно из итоговой формулы, период обращения Луны вокруг Земли зависит только от радиуса орбиты $\text{R}$ и массы Земли $M_З$. Масса самой Луны $m_Л$ в формулу не входит. Поскольку по условию задачи орбита остается той же (то есть $\text{R}$ = const), а масса Земли не меняется, то уменьшение массы Луны в 2 раза не приведёт к изменению периода её обращения.

Ответ: Период обращения Луны вокруг Земли не изменится.