Номер 5, страница 266 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 52. Планеты земной группы Солнечной системы. Задания и упражнения - номер 5, страница 266.

Условие.

5. Радиус орбиты Луны в 60 раз больше радиуса Земли. Найдите:

а) модуль центростремительного ускорения Луны в системе отсчёта, связанной с Землёй;

б) период обращения Луны вокруг Земли (см. таблицу 18).

Сравните модули ускорения свободного падения вблизи поверхностей Луны и Земли.

Решение.

Дано:

$R_Л = 60 R_З$

Радиус Земли $R_З = 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Масса Земли $M_З \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ кг}$

Масса Луны $M_М \approx 7.35 \times 10^{22} \text{ кг}$

Радиус Луны $R_М \approx 1737 \text{ км}$

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2$

$R_З = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

$R_Л = 60 \cdot 6.4 \times 10^6 \text{ м} = 3.84 \times 10^8 \text{ м}$

$R_М = 1.737 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

а) $a_{цЛ}$ - ?

б) $T_Л$ - ?

Сравнить $g_М$ и $g_З$.

Решение:

а) модуль центростремительного ускорения Луны в системе отсчёта, связанной с Землёй

Движение Луны по орбите вокруг Земли происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает Луне центростремительное ускорение. Согласно закону всемирного тяготения, сила, действующая на Луну, равна:

$F_G = G \frac{M_З M_Л}{R_Л^2}$

где $M_З$ и $M_Л$ – массы Земли и Луны, $R_Л$ – радиус орбиты Луны, $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Эта сила является центростремительной силой: $F_ц = M_Л a_{цЛ}$. Приравнивая выражения для силы, получаем:

$M_Л a_{цЛ} = G \frac{M_З M_Л}{R_Л^2}$

Отсюда центростремительное ускорение Луны:

$a_{цЛ} = G \frac{M_З}{R_Л^2}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли ($g_З$) определяется как $g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Из этого соотношения можно выразить $G M_З = g_З R_З^2$. Подставим это в формулу для ускорения Луны:

$a_{цЛ} = \frac{g_З R_З^2}{R_Л^2}$

По условию задачи $R_Л = 60 R_З$. Подставляем это значение:

$a_{цЛ} = \frac{g_З R_З^2}{(60 R_З)^2} = \frac{g_З R_З^2}{3600 R_З^2} = \frac{g_З}{3600}$

Выполним вычисление:

$a_{цЛ} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{3600} \approx 0.00272 \text{ м/с}^2$

Ответ: Модуль центростремительного ускорения Луны составляет примерно $0.00272 \text{ м/с}^2$.

б) период обращения Луны вокруг Земли

Центростремительное ускорение связано с периодом обращения $T_Л$ и радиусом орбиты $R_Л$ формулой:

$a_{цЛ} = \frac{4\pi^2 R_Л}{T_Л^2}$

Выразим из этой формулы период обращения $T_Л$:

$T_Л^2 = \frac{4\pi^2 R_Л}{a_{цЛ}}$

$T_Л = \sqrt{\frac{4\pi^2 R_Л}{a_{цЛ}}}$

Подставим ранее вычисленное значение $a_{цЛ}$ и известные данные:

$T_Л = \sqrt{\frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot 3.84 \times 10^8 \text{ м}}{0.00272 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{\frac{1.516 \times 10^{10}}{0.00272}} \text{ с} \approx \sqrt{5.57 \times 10^{12}} \text{ с} \approx 2.36 \times 10^6 \text{ с}$

Чтобы перевести секунды в сутки, разделим полученное значение на количество секунд в сутках ($24 \cdot 3600 = 86400 \text{ с}$):

$T_Л = \frac{2.36 \times 10^6 \text{ с}}{86400 \text{ с/сутки}} \approx 27.3 \text{ суток}$

Ответ: Период обращения Луны вокруг Земли составляет примерно $27.3$ суток.

Сравните модули ускорения свободного падения вблизи поверхностей Луны и Земли.

Модуль ускорения свободного падения на поверхности небесного тела вычисляется по формуле $g = G \frac{M}{R^2}$, где $\text{M}$ – масса тела, а $\text{R}$ – его радиус.

Для Земли: $g_З = G \frac{M_З}{R_З^2} \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Для Луны: $g_М = G \frac{M_М}{R_М^2}$.

Подставим численные значения для Луны:

$g_М = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{7.35 \times 10^{22} \text{ кг}}{(1.737 \times 10^6 \text{ м})^2} \approx \frac{4.902 \times 10^{12}}{3.017 \times 10^{12}} \text{ м/с}^2 \approx 1.62 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем отношение ускорений, чтобы сравнить их:

$\frac{g_З}{g_М} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{1.62 \text{ м/с}^2} \approx 6.05$

Ответ: Модуль ускорения свободного падения на поверхности Земли примерно в 6 раз больше, чем на поверхности Луны.