Номер 4, страница 275 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 54. Солнце — одна из звёзд нашей Галактики. Задания и упражнения - номер 4, страница 275.

Условие.

4. Используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, определите:

а) массу Земли через радиус Луны $R_\text{Л}$ и её период обращения вокруг Земли $T_\text{Л}$;

б) отношение массы Солнца $M_\text{С}$ к массе Земли $M_\text{З}$ через радиус Земли $R_\text{З}$, радиус Луны $R_\text{Л}$, период обращения Луны вокруг Земли $T_\text{Л}$ и период обращения Земли вокруг Солнца $T_\text{З}$.

Решение.

а) Для определения массы Земли $M_З$ рассмотрим движение Луны вокруг неё. Будем считать, что Луна движется по круговой орбите радиусом $R_Л$ с периодом $T_Л$.
Сила всемирного тяготения, действующая на Луну со стороны Земли, сообщает ей центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения к произведению массы Луны $m_Л$ на её центростремительное ускорение $a_ц$.
Сила всемирного тяготения: $F_г = G \frac{M_З m_Л}{R_Л^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.
Второй закон Ньютона для Луны, движущейся по окружности: $F_г = m_Л a_ц$.
Центростремительное ускорение выражается через орбитальную скорость $v_Л$ как $a_ц = \frac{v_Л^2}{R_Л}$.
Приравниваем выражения для силы:
$G \frac{M_З m_Л}{R_Л^2} = m_Л \frac{v_Л^2}{R_Л}$.
Сократив массу Луны $m_Л$ и радиус $R_Л$ в знаменателе справа и слева, получим: $G \frac{M_З}{R_Л} = v_Л^2$.
Орбитальная скорость $v_Л$ связана с периодом обращения $T_Л$ и радиусом орбиты $R_Л$ соотношением: $v_Л = \frac{2\pi R_Л}{T_Л}$.
Подставим это выражение для скорости в предыдущую формулу:
$G \frac{M_З}{R_Л} = \left(\frac{2\pi R_Л}{T_Л}\right)^2 = \frac{4\pi^2 R_Л^2}{T_Л^2}$.
Теперь выразим массу Земли $M_З$:
$M_З = \frac{4\pi^2 R_Л^3}{G T_Л^2}$.
Ответ: $M_З = \frac{4\pi^2 R_Л^3}{G T_Л^2}$

б) Для нахождения отношения массы Солнца $M_C$ к массе Земли $M_З$ воспользуемся результатом из пункта а) и применим аналогичные рассуждения для системы Земля-Солнце.
Масса Земли, полученная в пункте а) из параметров орбиты Луны:
$M_З = \frac{4\pi^2 R_Л^3}{G T_Л^2}$.
Теперь рассмотрим движение Земли вокруг Солнца. Считаем орбиту Земли круговой с радиусом $R_З$ (здесь $R_З$ — это радиус орбиты Земли, а не радиус планеты) и периодом обращения $T_З$. Масса Солнца $M_C$ будет центральным телом. По аналогии с формулой для массы Земли, можем записать формулу для массы Солнца, заменив параметры орбиты Луны на параметры орбиты Земли:
$M_C = \frac{4\pi^2 R_З^3}{G T_З^2}$.
Теперь найдём отношение массы Солнца к массе Земли, разделив второе выражение на первое:
$\frac{M_C}{M_З} = \frac{\frac{4\pi^2 R_З^3}{G T_З^2}}{\frac{4\pi^2 R_Л^3}{G T_Л^2}}$.
Гравитационная постоянная $\text{G}$ и множитель $4\pi^2$ сокращаются:
$\frac{M_C}{M_З} = \frac{R_З^3 / T_З^2}{R_Л^3 / T_Л^2} = \frac{R_З^3}{R_Л^3} \cdot \frac{T_Л^2}{T_З^2}$.
Запишем это в более компактном виде:
$\frac{M_C}{M_З} = \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^3 \left(\frac{T_Л}{T_З}\right)^2$.
Ответ: $\frac{M_C}{M_З} = \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^3 \left(\frac{T_Л}{T_З}\right)^2$