Номер 5, страница 275 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 54. Солнце — одна из звёзд нашей Галактики. Задания и упражнения - номер 5, страница 275.

Условие.

5. Расстояние от центра нашей Галактики до Солнечной системы примерно равно 28 000 св. лет. Период обращения Солнечной системы вокруг центра Галактики примерно равен 240 млн лет. Используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, оцените массу нашей Галактики.

Решение.

Дано:

$R = 28000$ св. лет (расстояние от центра Галактики до Солнечной системы)

$T = 240$ млн лет (период обращения Солнечной системы)

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Переведем данные в систему СИ:

Расстояние $\text{R}$:

1 световой год — это расстояние, которое свет проходит за один год. Скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с. В году примерно $365.25 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 3.156 \cdot 10^7$ секунд.

1 св. год $\approx 3 \cdot 10^8 \frac{м}{с} \cdot 3.156 \cdot 10^7 с \approx 9.47 \cdot 10^{15}$ м.

$R = 28000 \cdot 9.47 \cdot 10^{15} м \approx 2.65 \cdot 10^{20}$ м.

Период $\text{T}$:

$T = 240$ млн лет $= 240 \cdot 10^6$ лет $= 2.4 \cdot 10^8$ лет.

$T = 2.4 \cdot 10^8 \cdot 3.156 \cdot 10^7 с \approx 7.57 \cdot 10^{15}$ с.

Найти:

Массу Галактики $\text{M}$.

Решение:

Для оценки массы Галактики будем считать, что Солнечная система движется по круговой орбите вокруг центра Галактики. В этом случае сила всемирного тяготения, действующая на Солнечную систему со стороны Галактики, создает центростремительное ускорение. Для упрощения будем считать, что основная масса Галактики $\text{M}$, влияющая на движение Солнца, сосредоточена внутри его орбиты, и ее можно рассматривать как материальную точку в центре Галактики.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения равна:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $\text{m}$ - масса Солнечной системы.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы на центростремительное ускорение:

$F_c = m \cdot a_c = m \frac{v^2}{R}$

где $\text{v}$ - орбитальная скорость Солнечной системы.

Сила тяготения является центростремительной силой, поэтому приравняем эти два выражения:

$G \frac{M \cdot m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Масса Солнечной системы $\text{m}$ сокращается:

$G \frac{M}{R} = v^2$

Орбитальную скорость $\text{v}$ можно выразить через период обращения $\text{T}$ и радиус орбиты $\text{R}$ по формуле длины окружности, деленной на время одного оборота:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим выражение для скорости в предыдущую формулу:

$G \frac{M}{R} = \left( \frac{2 \pi R}{T} \right)^2 = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2}$

Теперь выразим массу Галактики $\text{M}$:

$M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$M = \frac{4 \cdot (3.1416)^2 \cdot (2.65 \cdot 10^{20} м)^3}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot (7.57 \cdot 10^{15} с)^2} \approx \frac{4 \cdot 9.87 \cdot 18.6 \cdot 10^{60}}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 57.3 \cdot 10^{30}} \approx \frac{734 \cdot 10^{60}}{382 \cdot 10^{19}} \approx 1.92 \cdot 10^{41}$ кг.

Ответ:

Оценочная масса нашей Галактики составляет примерно $1.92 \cdot 10^{41}$ кг.