Номер 4, страница 195 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава VI. Гравитация и Вселенная. Параграф 42. Нахождение силы тяжести и первой космической скорости - номер 4, страница 195.

Условие.

4. От каких факторов зависит модуль первой космической скорости?

Решение.

Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться по круговой орбите вокруг небесного тела (например, планеты). Для определения факторов, от которых она зависит, выведем её формулу.

Рассмотрим тело (спутник) массой $\text{m}$, которое движется по круговой орбите радиусом $\text{r}$ вокруг планеты массой $\text{M}$. Движение по такой траектории возможно, если сила всемирного тяготения $F_г$, действующая на спутник, равна центростремительной силе $F_ц$, необходимой для поддержания кругового движения.

$F_г = F_ц$

Сила всемирного тяготения определяется законом Ньютона:

$F_г = G \frac{Mm}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила, действующая на тело, движущееся со скоростью $v_1$ по окружности радиусом $\text{r}$, равна:

$F_ц = m \frac{v_1^2}{r}$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v_1^2}{r}$

Как видно из уравнения, масса спутника $\text{m}$ сокращается. Выразим скорость $v_1$:

$v_1^2 = G \frac{M}{r}$

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса планеты $\text{R}$ и высоты орбиты $\text{h}$ над поверхностью планеты: $r = R + h$. Тогда формула принимает вид:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R+h}}$

Из этой формулы видно, что модуль первой космической скорости зависит от:

1. Массы небесного тела $\text{M}$, вокруг которого происходит движение.

2. Радиуса орбиты $\text{r}$, который складывается из радиуса небесного тела $\text{R}$ и высоты орбиты $\text{h}$.

Важно отметить, что первая космическая скорость не зависит от массы самого спутника $\text{m}$.

Также формулу можно выразить через ускорение свободного падения $\text{g}$. Для орбит вблизи поверхности ($h \approx 0$, $r \approx R$), ускорение свободного падения $g = G \frac{M}{R^2}$. Отсюда $GM = gR^2$. Подставив это в основную формулу, получим:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Из этой упрощенной формулы видно, что для низких орбит первая космическая скорость зависит от ускорения свободного падения на поверхности планеты и от её радиуса.

Ответ: Модуль первой космической скорости зависит от массы центрального небесного тела (например, планеты) и от радиуса круговой орбиты (то есть от радиуса планеты и высоты над её поверхностью). Модуль первой космической скорости не зависит от массы тела (спутника), которое выводится на орбиту.