Номер 1, страница 195 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

1. От каких факторов зависит ускорение силы тяжести у поверхности планеты?

1. Решение

Ускорение силы тяжести (также называемое ускорением свободного падения) $\text{g}$ у поверхности планеты определяется на основе закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона.

Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения $F_{тяг}$ между планетой массой $\text{M}$ и телом массой $\text{m}$ на ее поверхности равна:

$F_{тяг} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\text{R}$ — радиус планеты.

Эта же сила, согласно второму закону Ньютона, является силой тяжести $F_{тяж}$, которая сообщает телу ускорение $\text{g}$:

$F_{тяж} = m \cdot g$

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Сократив массу тела $\text{m}$, мы получаем формулу для ускорения силы тяжести на поверхности планеты:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы следует, что ускорение силы тяжести зависит от двух основных характеристик самой планеты:

1. Массы планеты ($\text{M}$). Ускорение $\text{g}$ прямо пропорционально массе планеты: чем массивнее планета, тем сильнее ее гравитационное поле.

2. Радиуса планеты ($\text{R}$). Ускорение $\text{g}$ обратно пропорционально квадрату радиуса планеты: чем больше радиус планеты при той же массе, тем слабее гравитация на ее поверхности.

Также можно выразить массу планеты через ее среднюю плотность $\rho$ и объем (для шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$). Тогда $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставив это в формулу для $\text{g}$, получим зависимость от плотности и радиуса:

$g = G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$

Из этой формулы видно, что ускорение силы тяжести также прямо пропорционально средней плотности ($\rho$) и радиусу ($\text{R}$) планеты.

Кроме этих фундаментальных факторов, существуют и второстепенные, которые вызывают небольшие вариации значения $\text{g}$ в разных точках поверхности:

• Форма планеты. Планеты из-за вращения не являются идеальными шарами, а имеют форму эллипсоида, сплюснутого у полюсов. Так как полярный радиус меньше экваториального, ускорение силы тяжести на полюсах немного больше, чем на экваторе.

• Суточное вращение планеты. Вращение создает центробежный эффект, который направлен против силы тяжести и ослабляет ее. Этот эффект максимален на экваторе и равен нулю на полюсах.

• Рельеф и высота над уровнем моря. На вершинах гор расстояние до центра планеты больше, поэтому ускорение силы тяжести там несколько меньше, чем на уровне моря.

• Неоднородность плотности коры. Наличие под поверхностью залежей плотных пород (например, металлов) локально увеличивает $\text{g}$, а наличие менее плотных (например, пустот или залежей нефти) — уменьшает.

Ответ: Ускорение силы тяжести у поверхности планеты зависит главным образом от массы и радиуса планеты (или, что эквивалентно, от ее средней плотности и радиуса). Второстепенными факторами, вызывающими локальные изменения, являются форма планеты, ее суточное вращение, рельеф местности и неоднородность плотности ее недр.