Номер 5, страница 74 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. С каким ускорением движутся грузы (рис. 41), если их массы одинаковы? Трение в системе отсутствует, нить считать невесомой и нерастяжимой.

Рис. 41

5. Дано:

Масса одного груза: $m$

Количество грузов на левой ветви нити: $n_1 = 3$

Количество грузов на правой ветви нити: $n_2 = 2$

Масса всех грузов слева: $m_1 = n_1 \cdot m = 3m$

Масса всех грузов справа: $m_2 = n_2 \cdot m = 2m$

Ускорение свободного падения: $g$

Трение и масса нити и блока пренебрежимо малы.

Найти:

Ускорение грузов $a$.

Решение:

Данная система тел называется машиной Атвуда. Поскольку масса грузов с левой стороны ($m_1 = 3m$) больше массы грузов с правой стороны ($m_2 = 2m$), то система придет в движение: левая связка грузов будет опускаться, а правая — подниматься. Так как нить нерастяжима, обе связки грузов будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

Рассмотрим силы, действующие на каждую связку грузов, и применим второй закон Ньютона. Направим ось координат $OY$ вертикально вниз.

1. Для левой связки грузов массой $m_1$:

На нее действует сила тяжести $F_{т1} = m_1g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Ускорение $a$ также направлено вниз. Второй закон Ньютона в проекции на ось $OY$ запишется как:

$m_1 a = m_1 g - T$

Подставляя $m_1 = 3m$, получаем:

$3ma = 3mg - T$ (1)

2. Для правой связки грузов массой $m_2$:

На нее действует сила тяжести $F_{т2} = m_2g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Ускорение $a$ направлено вверх, поэтому его проекция на ось $OY$ будет отрицательной ($-a$). Второй закон Ньютона в проекции на ось $OY$ запишется как:

$m_2(-a) = m_2g - T$

Подставляя $m_2 = 2m$, получаем:

$-2ma = 2mg - T$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $T$. $\begin{cases} 3ma = 3mg - T \\ -2ma = 2mg - T \end{cases}$

Для решения системы можно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $T$:

$(3ma) - (-2ma) = (3mg - T) - (2mg - T)$

$3ma + 2ma = 3mg - T - 2mg + T$

$5ma = mg$

Сократим обе части уравнения на массу $m$ (так как $m \neq 0$):

$5a = g$

Отсюда выразим ускорение $a$:

$a = \frac{g}{5}$

Ответ: грузы движутся с ускорением $a = \frac{g}{5}$.