Страница 74 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Ученик проводил исследование по изучению зависимости деформации пружины от приложенной к ней силы. Подвешивая к пружине грузы известной массы, он измерял растяжение (деформацию) пружины. По результатам опыта ученик составил таблицу.

$F$, Н: 1, 2, 3

$x$, см: 2,5 $\pm$ 0,1, 5,0 $\pm$ 0,1, 7,4 $\pm$ 0,1

Постройте график зависимости деформации пружины от модуля приложенной к ней силы с учётом абсолютной погрешности измерения $\Delta x = 1$ мм.

Указания.

В данном эксперименте ученик изменял силу и измерял деформацию пружины, поэтому ось абсцисс обозначьте $F$, а ось ординат $x$ (масштаб: 1 см — 1 Н, 1 см — 1 см). Каждому значению силы на координатной плоскости будет соответствовать не точка, а отрезок, равный удвоенной погрешности измерения. Если ученик правильно произвёл измерения, прямая, построенная вами, будет проходить через все отрезки.

Дано:

Экспериментальные данные из таблицы:

1. При силе $F_1 = 1 \text{ Н}$, растяжение $x_1 = 2,5 \pm 0,1 \text{ см}$.

2. При силе $F_2 = 2 \text{ Н}$, растяжение $x_2 = 5,0 \pm 0,1 \text{ см}$.

3. При силе $F_3 = 3 \text{ Н}$, растяжение $x_3 = 7,4 \pm 0,1 \text{ см}$.

Абсолютная погрешность измерения растяжения $\Delta x = 1 \text{ мм}$.

Масштаб для построения графика: по оси абсцисс (силы) 1 см – 1 Н; по оси ординат (растяжения) 1 см – 1 см.

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 2,5 \text{ см} = 0,025 \text{ м}$

$x_2 = 5,0 \text{ см} = 0,050 \text{ м}$

$x_3 = 7,4 \text{ см} = 0,074 \text{ м}$

$\Delta x = 0,1 \text{ см} = 0,001 \text{ м}$

Найти:

Построить график зависимости деформации пружины $x$ от модуля приложенной силы $F$ с учётом погрешностей.

Решение:

1. Построим систему координат. Согласно указанию, по горизонтальной оси (ось абсцисс) откладываем силу $F$ в ньютонах (Н), а по вертикальной оси (ось ординат) — деформацию $x$ в сантиметрах (см). Выберем указанный масштаб: 1 см на оси графика соответствует 1 Н для силы и 1 см для деформации.

2. Нанесём на график экспериментальные данные. Каждому значению силы будет соответствовать не точка, а вертикальный отрезок (крест погрешности), длина которого равна удвоенной абсолютной погрешности измерения, то есть $2 \cdot \Delta x = 2 \cdot 0,1 \text{ см} = 0,2 \text{ см}$.

• Для $F_1 = 1 \text{ Н}$: центр отрезка находится в точке $(1; 2,5)$. Отрезок соединяет точки $(1; 2,4)$ и $(1; 2,6)$.

• Для $F_2 = 2 \text{ Н}$: центр отрезка находится в точке $(2; 5,0)$. Отрезок соединяет точки $(2; 4,9)$ и $(2; 5,1)$.

• Для $F_3 = 3 \text{ Н}$: центр отрезка находится в точке $(3; 7,4)$. Отрезок соединяет точки $(3; 7,3)$ и $(3; 7,5)$.

3. Проведём прямую, наилучшим образом описывающую экспериментальные данные. Согласно закону Гука, зависимость деформации от силы является прямой пропорциональностью ($x = \frac{1}{k}F$), поэтому график должен быть прямой линией, проходящей через начало координат (точку $(0;0)$) и все построенные отрезки погрешностей.

Ниже представлен построенный график.

Ответ:

График зависимости деформации пружины $x$ от приложенной силы $F$ построен с учётом погрешностей измерений. Он представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и пересекающую все отрезки, соответствующие погрешностям экспериментальных данных, что подтверждает выполнение закона Гука для данной пружины в исследованном диапазоне сил.

3. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жёсткостью $80 \text{ Н/м}$, чтобы растянуть её на $6 \text{ см}$?

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 80 \text{ Н/м}$

Растяжение пружины, $\Delta x = 6 \text{ см}$

Примем ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Перевод данных в систему СИ:

$\Delta x = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Массу груза, $m$

Решение:

Когда груз подвешивают к пружине, он растягивает её и останавливается в положении равновесия. В этой точке на груз действуют две силы, которые уравновешивают друг друга.

1. Сила тяжести, которая действует на груз и направлена вертикально вниз. Она рассчитывается по формуле: $F_{тяж} = m \cdot g$.

2. Сила упругости, которая возникает в растянутой пружине и направлена вертикально вверх. Согласно закону Гука, её величина равна: $F_{упр} = k \cdot \Delta x$.

Поскольку груз находится в равновесии, сила тяжести равна по модулю силе упругости:

$F_{тяж} = F_{упр}$

Подставим в это равенство формулы для сил:

$m \cdot g = k \cdot \Delta x$

Из этого уравнения выразим искомую массу груза $m$:

$m = \frac{k \cdot \Delta x}{g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{80 \text{ Н/м} \cdot 0.06 \text{ м}}{10 \text{ Н/кг}} = \frac{4.8 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 0.48 \text{ кг}$

Можно также выразить массу в граммах: $0.48 \text{ кг} = 480 \text{ г}$.

Ответ: чтобы растянуть пружину на 6 см, нужно подвесить груз массой 0.48 кг.

4. Электровоз толкает вагон массой 20 т, при этом буферная пружина сжимается на 8 см. С каким ускорением будет двигаться вагон, если жёсткость пружины 50 000 Н/м?

Дано:

m = 20 т

Δx = 8 см

k = 50 000 Н/м

Перевод в систему СИ:

m = 20 ⋅ 1000 кг = 20 000 кг

Δx = 8 / 100 м = 0,08 м

Найти:

a - ?

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, ускорение, сообщаемое телу, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе. Сила, которая сообщает ускорение вагону, — это сила упругости сжатой буферной пружины.

Запишем второй закон Ньютона для вагона:

$F = m \cdot a$

Где $F$ — это сила упругости пружины. По закону Гука, сила упругости равна:

$F_{упр} = k \cdot |\Delta x|$

Где $k$ — жёсткость пружины, а $|\Delta x|$ — величина её деформации (сжатия).

Приравняем правые части уравнений, так как $F = F_{упр}$:

$m \cdot a = k \cdot |\Delta x|$

Выразим из этого уравнения ускорение $a$:

$a = \frac{k \cdot |\Delta x|}{m}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$a = \frac{50000 \, \text{Н/м} \cdot 0,08 \, \text{м}}{20000 \, \text{кг}} = \frac{4000 \, \text{Н}}{20000 \, \text{кг}} = 0,2 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение вагона будет двигаться равно $0,2 \, \text{м/с}^2$.

5. С каким ускорением движутся грузы (рис. 41), если их массы одинаковы? Трение в системе отсутствует, нить считать невесомой и нерастяжимой.

Рис. 41

5. Дано:

Масса одного груза: $m$

Количество грузов на левой ветви нити: $n_1 = 3$

Количество грузов на правой ветви нити: $n_2 = 2$

Масса всех грузов слева: $m_1 = n_1 \cdot m = 3m$

Масса всех грузов справа: $m_2 = n_2 \cdot m = 2m$

Ускорение свободного падения: $g$

Трение и масса нити и блока пренебрежимо малы.

Найти:

Ускорение грузов $a$.

Решение:

Данная система тел называется машиной Атвуда. Поскольку масса грузов с левой стороны ($m_1 = 3m$) больше массы грузов с правой стороны ($m_2 = 2m$), то система придет в движение: левая связка грузов будет опускаться, а правая — подниматься. Так как нить нерастяжима, обе связки грузов будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$.

Рассмотрим силы, действующие на каждую связку грузов, и применим второй закон Ньютона. Направим ось координат $OY$ вертикально вниз.

1. Для левой связки грузов массой $m_1$:

На нее действует сила тяжести $F_{т1} = m_1g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Ускорение $a$ также направлено вниз. Второй закон Ньютона в проекции на ось $OY$ запишется как:

$m_1 a = m_1 g - T$

Подставляя $m_1 = 3m$, получаем:

$3ma = 3mg - T$ (1)

2. Для правой связки грузов массой $m_2$:

На нее действует сила тяжести $F_{т2} = m_2g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Ускорение $a$ направлено вверх, поэтому его проекция на ось $OY$ будет отрицательной ($-a$). Второй закон Ньютона в проекции на ось $OY$ запишется как:

$m_2(-a) = m_2g - T$

Подставляя $m_2 = 2m$, получаем:

$-2ma = 2mg - T$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $T$. $\begin{cases} 3ma = 3mg - T \\ -2ma = 2mg - T \end{cases}$

Для решения системы можно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $T$:

$(3ma) - (-2ma) = (3mg - T) - (2mg - T)$

$3ma + 2ma = 3mg - T - 2mg + T$

$5ma = mg$

Сократим обе части уравнения на массу $m$ (так как $m \neq 0$):

$5a = g$

Отсюда выразим ускорение $a$:

$a = \frac{g}{5}$

Ответ: грузы движутся с ускорением $a = \frac{g}{5}$.