Страница 67 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Верно ли, что притяжение тел к Земле является одним из примеров всемирного тяготения?

1. Да, это утверждение абсолютно верно. Притяжение любого тела к Земле, которое мы называем силой тяжести, является частным случаем проявления закона всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном, гласит, что все тела во Вселенной, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Сила этого притяжения ($F$) прямо пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел ($m_1$ и $m_2$) и обратно пропорциональна квадрату расстояния ($r$) между их центрами. Математически это выражается формулой:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

В случае притяжения тела к Земле, одним телом ($m_1$) является сама планета Земля с массой $M_З$, а вторым телом ($m_2$) — любой объект, находящийся на её поверхности или вблизи неё, с массой $m$. Расстояние $r$ между их центрами в этом случае приблизительно равно радиусу Земли $R_З$. Таким образом, сила тяжести — это гравитационная сила между Землёй и телом.

Ответ: Да, верно. Притяжение тел к Земле — это проявление закона всемирного тяготения.

2. Сила тяжести, действующая на тело, изменяется в зависимости от его местоположения. В соответствии с законом всемирного тяготения, её величина зависит от расстояния до центра Земли.

Сила тяжести ($F_{тяж}$) определяется формулой:

$F_{тяж} = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $r$ — расстояние от центра Земли до тела.

Из этой формулы следует, что сила тяжести обратно пропорциональна квадрату расстояния ($F_{тяж} \sim \frac{1}{r^2}$). Это приводит к следующим эффектам:

• С высотой: При увеличении расстояния $r$ (например, при подъёме на высоту $h$ над поверхностью, где $r = R_З + h$), знаменатель дроби увеличивается, а значит, сила тяжести уменьшается. Например, на высоте, равной радиусу Земли ($h = R_З$), сила тяжести будет в 4 раза меньше, чем на поверхности, так как расстояние станет в 2 раза больше ($r = 2R_З$), а его квадрат — в 4 раза больше.

• В зависимости от широты: Земля не является идеальной сферой — она слегка сплюснута у полюсов. Полярный радиус немного меньше экваториального, поэтому на полюсах (где расстояние до центра меньше) сила тяжести немного больше, чем на экваторе.

• Из-за вращения Земли: На величину силы тяжести также влияет центробежная сила, возникающая из-за суточного вращения планеты. Эта сила максимальна на экваторе и направлена от центра Земли, что дополнительно уменьшает результирующую силу тяжести. На полюсах центробежная сила равна нулю.

Таким образом, сила тяжести не является постоянной величиной; она зависит от высоты над уровнем моря и географической широты.

Ответ: Сила тяжести уменьшается с увеличением расстояния от центра Земли (например, с набором высоты) и незначительно изменяется в зависимости от географической широты (она больше на полюсах и меньше на экваторе).

2. Как меняется сила тяжести, действующая на тело, при его удалении от поверхности Земли?

2. Как меняется сила тяжести, действующая на тело, при его удалении от поверхности Земли?

Сила тяжести, действующая на тело, изменяется в соответствии с законом всемирного тяготения. Этот закон утверждает, что сила гравитационного притяжения между двумя телами (в данном случае, телом и планетой Земля) прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.

Математически сила тяжести $F_{тяж}$ выражается следующей формулой:

$F_{тяж} = G \frac{M_З \cdot m}{r^2}$

где:

$G$ — гравитационная постоянная (константа);

$M_З$ — масса Земли;

$m$ — масса тела;

$r$ — расстояние между центром Земли и центром масс тела.

Расстояние $r$ не является высотой над поверхностью. Оно представляет собой сумму радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$, на которую тело удалено от поверхности:

$r = R_З + h$

Подставив это выражение в основную формулу, получим зависимость силы тяжести от высоты над поверхностью:

$F_{тяж} = G \frac{M_З \cdot m}{(R_З + h)^2}$

Из этой формулы видно, что при удалении тела от поверхности Земли, высота $h$ увеличивается. Это приводит к увеличению знаменателя дроби $(R_З + h)^2$. Поскольку сила тяжести обратно пропорциональна этому значению, ее величина будет уменьшаться.

Таким образом, чем дальше тело находится от Земли, тем слабее гравитационное притяжение. Уменьшение происходит нелинейно: например, при увеличении расстояния от центра Земли в 2 раза, сила тяжести уменьшится в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: При удалении тела от поверхности Земли сила тяжести, действующая на него, уменьшается. Это уменьшение обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

3. В каком случае сила тяжести, действующая на одно и то же тело, будет больше: если это тело находится в экваториальной области земного шара или на одном из полюсов?

3. Решение

Сила тяжести, действующая на одно и то же тело, будет больше на одном из полюсов. Это обусловлено двумя основными причинами:

1. Форма Земли. Наша планета не является идеальным шаром, она слегка сплюснута у полюсов и вытянута у экватора (является геоидом). Это означает, что расстояние от центра Земли до ее поверхности на полюсах (полярный радиус, $R_п$) меньше, чем на экваторе (экваториальный радиус, $R_э$). Сила всемирного тяготения, которая является основной составляющей силы тяжести, определяется по закону всемирного тяготения: $F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $R$ — расстояние до центра Земли. Так как полярный радиус меньше экваториального ($R_п < R_э$), то знаменатель в формуле для полюса меньше, а значит, сама сила гравитационного притяжения на полюсах будет сильнее.

2. Вращение Земли. Из-за суточного вращения Земли на все тела, находящиеся на ее поверхности (кроме полюсов), действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. Эта сила максимальна на экваторе, где линейная скорость вращения наибольшая, и равна нулю на полюсах. Центробежная сила действует в направлении, противоположном силе гравитационного притяжения, тем самым "уменьшая" ее. На полюсах этого ослабляющего эффекта нет. Таким образом, результирующая сила тяжести на экваторе оказывается меньше, чем на полюсах.

Следовательно, оба фактора — и меньшее расстояние до центра Земли, и отсутствие ослабляющего действия центробежной силы — приводят к тому, что сила тяжести на полюсах больше, чем на экваторе.

Ответ: Сила тяжести, действующая на тело, будет больше на одном из полюсов.

4. Решение

Ускорение свободного падения ($g$) напрямую связано с силой тяжести ($F_{тяж}$) через второй закон Ньютона: $F_{тяж} = m \cdot g$, где $m$ — масса тела. Отсюда следует, что $g = \frac{F_{тяж}}{m}$.

Поскольку, как объяснено в предыдущем пункте, сила тяжести $F_{тяж}$ на полюсе больше, чем на экваторе, то и ускорение свободного падения $g$ также будет больше на полюсе. Причины этого различия аналогичны:

• Несферическая форма Земли. Из-за сплюснутости Земли у полюсов тело на полюсе находится ближе к центру планеты. Гравитационное ускорение, создаваемое притяжением Земли (без учета вращения), равно $g_{грав} = G \frac{M}{R^2}$. Поскольку полярный радиус $R_п$ меньше экваториального $R_э$, гравитационное ускорение на полюсе больше.

• Суточное вращение Земли. Вращение планеты создает центробежное ускорение $a_ц = \omega^2 R_{\perp}$, где $\omega$ — угловая скорость вращения Земли, а $R_{\perp}$ — расстояние от тела до оси вращения. Это ускорение направлено от оси вращения и на экваторе максимально. На полюсах $R_{\perp} = 0$, поэтому и центробежное ускорение равно нулю. Результирующее ускорение свободного падения $g$ является векторной разностью гравитационного и центробежного ускорений. На экваторе центробежное ускорение направлено прямо противоположно гравитационному, поэтому $g_{экватор} = g_{грав. экватор} - a_ц$. На полюсе $g_{полюс} = g_{грав. полюс}$, так как $a_ц = 0$.

Совокупное действие этих двух факторов приводит к тому, что ускорение свободного падения на полюсах (около $9,832$ м/с²) заметно больше, чем на экваторе (около $9,780$ м/с²).

Ответ: Ускорение свободного падения различно в разных точках Земли из-за ее несферической (сплюснутой у полюсов) формы и из-за ее суточного вращения, которое создает центробежный эффект, ослабляющий гравитационное притяжение везде, кроме полюсов.

4. Почему ускорение свободного падения в данной точке земного шара одинаково для тел любой массы?

4. Ускорение свободного падения в данной точке земного шара одинаково для тел любой массы из-за фундаментального соотношения между законом всемирного тяготения и вторым законом Ньютона.

С одной стороны, сила, с которой Земля притягивает тело (сила тяжести), определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

В этой формуле $F$ – сила гравитационного притяжения, $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $R$ – расстояние от центра Земли до тела (для тел у поверхности примерно равно радиусу Земли).

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона, эта же сила сообщает телу ускорение $a$:

$F = m \cdot a$

При свободном падении (когда на тело действует только сила тяжести) ускорение $a$ и есть ускорение свободного падения, которое обозначается буквой $g$. Таким образом, $F = m \cdot g$.

Теперь приравняем оба выражения для силы $F$, действующей на тело:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Как видно из этого уравнения, масса тела $m$ присутствует в обеих частях. Мы можем сократить ее, так как она не равна нулю:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Полученное выражение показывает, что ускорение свободного падения $g$ в данной точке зависит только от массы Земли ($M$) и расстояния до ее центра ($R$), но совершенно не зависит от массы падающего тела ($m$).

Этот факт является следствием принципа эквивалентности, который гласит, что гравитационная масса (характеризующая способность тела создавать гравитационное поле и взаимодействовать с ним) и инертная масса (характеризующая инертность тела, его способность сопротивляться изменению скорости) равны. Именно поэтому в вакууме, где нет сопротивления воздуха, и легкое перышко, и тяжелая гиря будут падать с одинаковым ускорением.

Ответ: Ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела, так как эта масса сокращается при приравнивании формулы силы тяжести из закона всемирного тяготения ($F=G \frac{M \cdot m}{R^2}$) и формулы силы из второго закона Ньютона ($F=mg$). В результате ускорение свободного падения ($g = G \frac{M}{R^2}$) определяется только массой планеты (Земли) и расстоянием до ее центра.

5. Что вы знаете об ускорении свободного падения на Луне?

Ускорение свободного падения — это ускорение, которое приобретает тело, двигаясь под действием силы тяжести небесного тела (в данном случае Луны), при условии, что все остальные силы, действующие на тело, пренебрежимо малы. Важнейшим свойством ускорения свободного падения является то, что оно одинаково для всех тел, независимо от их массы, формы или размера. Это утверждение справедливо как для Земли, так и для Луны.

Ключевое отличие ускорения свободного падения на Луне от земного заключается в его величине. На Луне оно значительно меньше.

Величину ускорения свободного падения ($g$) на поверхности сферического небесного тела можно рассчитать, используя закон всемирного тяготения. Формула имеет вид:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Здесь $G$ — это универсальная гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, а $R$ — его радиус.

Применим эту формулу для расчета ускорения свободного падения на поверхности Луны.

Дано:

Масса Луны: $M_Л = 7.342 \cdot 10^{22}$ кг

Средний радиус Луны: $R_Л = 1737.4$ км

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Переведем радиус Луны в систему СИ (метры):

$R_Л = 1737.4 \text{ км} = 1.7374 \cdot 10^6$ м

Найти:

Ускорение свободного падения на Луне $g_Л$.

Решение:

Воспользуемся формулой для ускорения свободного падения, подставив в нее данные для Луны:

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Подставим числовые значения:

$g_Л = (6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot \frac{7.342 \cdot 10^{22} \text{ кг}}{(1.7374 \cdot 10^6 \text{ м})^2}$

$g_Л \approx \frac{48.995 \cdot 10^{11}}{3.0185 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1.623 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округлим полученное значение: $g_Л \approx 1.62 \text{ м/с}^2$.

Это значение существенно меньше ускорения свободного падения на Земле, которое составляет в среднем $g_З \approx 9.81 \text{ м/с}^2$. Чтобы понять, во сколько раз оно меньше, найдем их отношение:

$\frac{g_З}{g_Л} \approx \frac{9.81 \text{ м/с}^2}{1.62 \text{ м/с}^2} \approx 6.05$

Таким образом, сила тяжести на Луне и, соответственно, ускорение свободного падения примерно в 6 раз слабее, чем на Земле. Причина этого кроется в том, что Луна имеет значительно меньшую массу (примерно в 81 раз меньше Земли) и меньший радиус (примерно в 3.7 раза меньше Земли).

Ответ: Ускорение свободного падения на Луне составляет приблизительно $1.62 \text{ м/с}^2$. Это значение примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Причиной такого различия являются меньшие масса и радиус Луны по сравнению с Землей. Так же, как и на Земле, ускорение свободного падения на Луне одинаково для всех тел, независимо от их массы.

1. Чему равна сила тяжести, действующая на тело массой 2,5 кг; 600 г; 1,2 т; 50 т? (Принять $g = 10 \text{ m/s}^2$.)

Дано:

$m_1 = 2,5 \text{ кг}$

$m_2 = 600 \text{ г}$

$m_3 = 1,2 \text{ т}$

$m_4 = 50 \text{ т}$

$g = 10 \text{ м/с²}$

Перевод данных в систему СИ:

$m_1 = 2,5 \text{ кг}$

$m_2 = 600 \text{ г} = 0,6 \text{ кг}$

$m_3 = 1,2 \text{ т} = 1200 \text{ кг}$

$m_4 = 50 \text{ т} = 50000 \text{ кг}$

Найти:

$F_{тяж1}, F_{тяж2}, F_{тяж3}, F_{тяж4}$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, вычисляется по формуле:

$F_{тяж} = m \cdot g$

где $m$ – масса тела в килограммах (кг), а $g$ – ускорение свободного падения.

Рассчитаем силу тяжести для каждого случая, используя массы, переведенные в систему СИ.

2,5 кг

Масса $m_1$ уже дана в единицах СИ.

$F_{тяж1} = 2,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} = 25 \text{ Н}$.

Ответ: 25 Н.

600 г

Используя массу, переведенную в СИ ($m_2 = 0,6 \text{ кг}$), находим силу тяжести:

$F_{тяж2} = 0,6 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} = 6 \text{ Н}$.

Ответ: 6 Н.

1,2 т

Используя массу, переведенную в СИ ($m_3 = 1200 \text{ кг}$), находим силу тяжести:

$F_{тяж3} = 1200 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} = 12000 \text{ Н}$ (или $12 \text{ кН}$).

Ответ: 12000 Н.

50 т

Используя массу, переведенную в СИ ($m_4 = 50000 \text{ кг}$), находим силу тяжести:

$F_{тяж4} = 50000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} = 500000 \text{ Н}$ (или $500 \text{ кН}$).

Ответ: 500000 Н.

2. Определите приблизительно силу тяжести, действующую на человека массой 64 кг. (Принять $g = 10 \, \text{м}/\text{с}^2$.) Притягивается ли земной шар к этому человеку? Если да, то чему приблизительно равна эта сила?

Определите приблизительно силу тяжести, действующую на человека массой 64 кг.

Дано:

Масса человека $m = 64$ кг

Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тяжести $F_{тяж}$ — ?

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело вблизи поверхности Земли, вычисляется по формуле:

$F_{тяж} = m \cdot g$

где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$F_{тяж} = 64 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 640 \text{ Н}$

Ответ: приблизительная сила тяжести, действующая на человека, равна 640 Н.

Притягивается ли земной шар к этому человеку? Если да, то чему приблизительно равна эта сила?

Решение:

Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия между двумя телами всегда равны по величине и противоположны по направлению. Гравитационное взаимодействие между Землей и человеком не является исключением.

Сила, с которой Земля притягивает человека (это и есть сила тяжести, которую мы рассчитали), равна по модулю силе, с которой человек притягивает Землю. Обозначим силу действия Земли на человека как $F_1$, а силу действия человека на Землю как $F_2$. Тогда:

$|F_1| = |F_2|$

Поскольку мы уже определили, что сила притяжения человека к Земле составляет 640 Н, то и сила притяжения Земли к человеку имеет такую же величину.

Ответ: да, земной шар притягивается к этому человеку. Сила этого притяжения приблизительно равна 640 Н.