Страница 62 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Действует ли сила тяжести на подброшенное вверх тело во время его подъёма? 2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело во время его подъёма?

1. Да, сила тяжести действует на подброшенное вверх тело в течение всего его полета, включая и время подъёма. Сила тяжести — это сила, с которой Земля притягивает к себе все тела, находящиеся вблизи её поверхности. Эта сила зависит от массы тела и ускорения свободного падения ($F_{тяж} = mg$) и не зависит от того, движется тело или покоится, а также от направления его движения. Во время подъёма сила тяжести направлена вниз, то есть против скорости тела, и именно она заставляет тело замедляться, пока его скорость не станет равной нулю в верхней точке траектории.

Ответ: Да, действует.

2. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то на подброшенное вверх тело действует только одна сила — сила тяжести. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе ($a = \frac{F}{m}$). В данном случае равнодействующая сила равна силе тяжести ($F = F_{тяж} = mg$). Таким образом, ускорение тела равно:

$a = \frac{F_{тяж}}{m} = \frac{mg}{m} = g$

Это ускорение свободного падения, $g$. Его величина у поверхности Земли приблизительно равна $9,8 \text{ м/с}^2$. Ускорение $g$ постоянно по модулю и всегда направлено вертикально вниз, к центру Земли, на протяжении всего времени движения тела: и при подъёме, и в верхней точке, и при падении.

Ответ: Тело движется с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз.

2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело при отсутствии трения? Как меняется при этом скорость движения тела?

2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело при отсутствии трения? Как меняется при этом скорость движения тела?

Решение

При отсутствии трения (сопротивления воздуха) единственной силой, действующей на подброшенное вверх тело после того, как оно покинуло руку, является сила тяжести, направленная вертикально вниз. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает телу ускорение.

Сила тяжести определяется формулой $F_т = mg$, где $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения.

Второй закон Ньютона гласит: $F = ma$.

Так как единственная действующая сила – это сила тяжести, то $ma = mg$.

Отсюда следует, что ускорение тела $a$ равно ускорению свободного падения $g$: $a = g$.

Это ускорение постоянно по величине (приблизительно $9,8 \, \text{м/с}^2$ у поверхности Земли) и всегда направлено вертикально вниз, к центру Земли, независимо от направления движения тела. Таким образом, тело движется с постоянным ускорением $g$, направленным вниз.

Теперь рассмотрим, как меняется скорость движения тела. Так как ускорение направлено противоположно начальной скорости (которая направлена вверх), движение тела при подъеме является равнозамедленным. Это означает, что модуль скорости тела линейно уменьшается со временем. Скорость тела в любой момент времени $t$ при подъеме можно найти по формуле: $v(t) = v_0 - gt$, где $v_0$ – начальная скорость.

Скорость уменьшается до нуля в верхней точке траектории. После достижения максимальной высоты тело начинает падать вниз. Его скорость меняет направление и начинает увеличиваться по модулю (движение становится равноускоренным).

Таким образом, на всем протяжении полета (и при подъеме, и при падении) тело движется с постоянным ускорением $g$, направленным вниз. При подъеме скорость тела уменьшается, а при падении – увеличивается по модулю.

Ответ: При отсутствии трения подброшенное вверх тело движется с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз. Во время подъема скорость тела уменьшается до нуля, а во время последующего падения – увеличивается по модулю, изменив направление на противоположное.

3. От чего зависит наибольшая высота подъёма брошенного тела?

Решение

Наибольшую высоту подъема $h_{max}$ можно определить, используя закон сохранения механической энергии или кинематические формулы.

Подход 1: Закон сохранения энергии.

В отсутствие трения полная механическая энергия тела сохраняется. В начальный момент (в точке броска, которую примем за нулевой уровень высоты) тело обладает только кинетической энергией $E_к = \frac{1}{2}mv_0^2$, где $v_0$ – начальная скорость. В наивысшей точке подъема скорость тела становится равной нулю, поэтому его кинетическая энергия равна нулю, а вся начальная энергия переходит в потенциальную: $E_п = mgh_{max}$.

Приравнивая начальную кинетическую энергию к конечной потенциальной энергии, получаем:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_{max}$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим выражение для максимальной высоты:

$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$

Подход 2: Кинематические формулы.

Можно использовать формулу для равноускоренного движения, связывающую перемещение, скорости и ускорение: $h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

В нашем случае перемещение равно $h_{max}$, конечная скорость в верхней точке $v = 0$, а ускорение $a = -g$ (знак «минус» указывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную начальной скорости). Подставив эти значения, получим:

$h_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Оба подхода приводят к одной и той же формуле. Из нее следует, что наибольшая высота подъема $h_{max}$ зависит от двух величин: она прямо пропорциональна квадрату начальной скорости $v_0$ и обратно пропорциональна ускорению свободного падения $g$. Важно отметить, что при отсутствии сопротивления воздуха наибольшая высота подъема не зависит от массы брошенного тела.

Ответ: Наибольшая высота подъёма брошенного тела зависит от квадрата его начальной скорости и обратно пропорциональна ускорению свободного падения. Она не зависит от массы тела.

3. От чего зависит наибольшая высота подъёма брошенного вверх тела в том случае, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь?

3. Дано:

Движение тела, брошенного вертикально вверх.

Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

$v_0$ - начальная скорость тела.

$g$ - ускорение свободного падения.

$v = 0$ - скорость тела на максимальной высоте.

Найти:

Факторы, от которых зависит наибольшая высота подъёма $h_{max}$.

Решение:

Рассмотрим движение тела, брошенного вертикально вверх. Выберем систему отсчета, в которой ось $OY$ направлена вертикально вверх, а начало отсчета ($y_0 = 0$) находится в точке броска.

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, на тело действует только сила тяжести. Следовательно, тело движется с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $g$ и направленным вниз. Проекция ускорения на ось $OY$ будет $a_y = -g$.

Для нахождения связи между высотой подъёма и начальной скоростью воспользуемся формулой для равноускоренного движения, не содержащей время:

$h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$

В точке максимального подъёма $h = h_{max}$ мгновенная скорость тела становится равной нулю ($v_y=0$). Подставим известные значения в формулу, где $v_{0y} = v_0$ (начальная скорость направлена вверх) и $a_y = -g$:

$h_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Анализируя полученную формулу $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$, мы видим, что наибольшая высота подъёма $h_{max}$ зависит от двух величин:

1. От начальной скорости $v_0$, с которой брошено тело. Высота прямо пропорциональна квадрату начальной скорости.

2. От ускорения свободного падения $g$. Высота обратно пропорциональна ускорению свободного падения. Это означает, что на планетах с меньшей силой тяжести (меньшим $g$) тело, брошенное с той же начальной скоростью, поднимется на большую высоту.

Таким образом, наибольшая высота подъема тела зависит от квадрата его начальной скорости и от ускорения свободного падения в данном месте.

Ответ: Наибольшая высота подъёма брошенного вверх тела (при пренебрежении сопротивлением воздуха) зависит от его начальной скорости и от ускорения свободного падения.

4. Что можно сказать о знаках проекции векторов мгновенной скорости тела и ускорения свободного падения при свободном движении этого тела вверх?

4. Решение

Чтобы определить знаки проекций векторов, необходимо сначала выбрать систему координат. Для задачи о вертикальном движении тела обычно используется одна координатная ось, направленная вертикально, например, ось OY.

Рассмотрим векторы, о которых идет речь в задаче:

• Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$: Поскольку тело движется вверх, вектор его мгновенной скорости в любой момент времени на этом участке траектории направлен вертикально вверх.

• Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$: Это ускорение создается силой тяжести Земли и всегда направлено вертикально вниз, к центру Земли, независимо от того, в каком направлении движется тело.

Знак проекции вектора на ось зависит от того, совпадает ли направление вектора с направлением оси или противоположно ему. Рассмотрим два возможных варианта направления оси OY.

Вариант 1: Ось OY направлена вертикально вверх.

В этом случае:

• Проекция вектора скорости $v_y$. Вектор $\vec{v}$ направлен вверх, то есть его направление совпадает с направлением оси OY. Следовательно, его проекция будет положительной: $v_y > 0$.

• Проекция вектора ускорения $g_y$. Вектор $\vec{g}$ направлен вниз, то есть его направление противоположно направлению оси OY. Следовательно, его проекция будет отрицательной: $g_y = -g < 0$.

Вариант 2: Ось OY направлена вертикально вниз.

В этом случае:

• Проекция вектора скорости $v_y$. Вектор $\vec{v}$ направлен вверх, то есть его направление противоположно направлению оси OY. Следовательно, его проекция будет отрицательной: $v_y < 0$.

• Проекция вектора ускорения $g_y$. Вектор $\vec{g}$ направлен вниз, то есть его направление совпадает с направлением оси OY. Следовательно, его проекция будет положительной: $g_y = g > 0$.

Вывод: Независимо от выбора направления координатной оси, знаки проекций векторов мгновенной скорости и ускорения свободного падения при движении тела вверх всегда будут противоположными. Движение является равнозамедленным.

Ответ: Знаки проекций векторов мгновенной скорости и ускорения свободного падения при свободном движении тела вверх всегда противоположны. Если выбрать ось координат, направленную вверх, то проекция скорости будет положительной, а проекция ускорения — отрицательной. Если выбрать ось, направленную вниз, то проекция скорости будет отрицательной, а проекция ускорения — положительной.

5. Расскажите о ходе опытов, изображённых на рисунке 34. Какой вывод из них следует?

5. На рисунке 34, предположительно, изображены опыты со стеклянной трубкой (трубкой Ньютона), которые демонстрируют особенности падения тел в воздухе и в вакууме.

Ход опытов

Эксперимент проводится в два этапа с использованием одних и тех же предметов, например, свинцовой дробинки, кусочка пробки и птичьего пера, помещенных в длинную запаянную стеклянную трубку.

1. Падение тел в воздухе. Трубку, в которой находится воздух, быстро переворачивают вертикально. В ходе наблюдения видно, что тела падают с разной скоростью. Свинцовая дробинка достигает дна первой, пробка — второй, а перо опускается очень медленно, сильно отставая от других тел. Причина такого поведения заключается в том, что на падение тел, помимо силы тяжести, влияет сила сопротивления воздуха. Эта сила зависит от формы, размеров и скорости тела и оказывает наиболее значительное тормозящее действие на легкие и объемные предметы, как перо.

2. Падение тел в вакууме. С помощью вакуумного насоса из трубки откачивают воздух, создавая внутри близкое к вакууму состояние. Затем опыт повторяют: трубку снова резко переворачивают. В этот раз наблюдается совершенно иная картина: все три тела — дробинка, пробка и перо — падают абсолютно синхронно и ударяются о дно трубки в один и тот же момент времени.

Вывод

Эти опыты наглядно доказывают фундаментальный принцип: в отсутствие сопротивления среды (в вакууме) все тела, независимо от их массы, плотности, формы или размера, падают на Землю с одинаковым ускорением. Движение тела исключительно под действием силы тяжести называется свободным падением.

Следовательно, ускорение свободного падения, обозначаемое символом $g$, является постоянной величиной для всех тел в данной точке пространства. Различие в скоростях падения, которое мы наблюдаем в повседневной жизни, обусловлено только наличием сопротивления воздуха.

Ответ: В ходе опытов наблюдают за падением тел разной массы и формы (дробинка, пробка, перо) сначала в трубке с воздухом, а затем в трубке, из которой воздух откачан. В воздухе тела падают с разной скоростью, а в вакууме — одновременно. Вывод, который следует из опытов: ускорение свободного падения одинаково для всех тел и не зависит от их массы или формы. Разница в скоростях падения в воздухе вызвана силой сопротивления воздуха.

1. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью $9,8 \text{ м/с}$. Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля? Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч? Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 9,8 \text{ м/с}$

Конечная скорость, $v = 0 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Время подъема, $t$ - ?

Перемещение (высота подъема), $h$ - ?

Решение:

Движение теннисного мяча, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным движением. Направим ось координат OY вертикально вверх, с началом в точке броска. В этом случае проекция начальной скорости на ось OY будет положительной ($v_{0y} = v_0$), а проекция ускорения свободного падения — отрицательной ($a_y = -g$), так как вектор ускорения направлен вниз, против выбранного направления оси.

Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля?

Для определения времени подъема до максимальной высоты, где скорость мяча становится равной нулю, воспользуемся уравнением зависимости скорости от времени при равноускоренном движении:

$v_y = v_{0y} + a_y t$

Подставим в уравнение известные нам величины: $v_y = 0$, $v_{0y} = v_0$ и $a_y = -g$.

$0 = v_0 - gt$

Из этого уравнения выразим время $t$:

$gt = v_0$

$t = \frac{v_0}{g}$

Теперь подставим числовые значения:

$t = \frac{9,8 \text{ м/с}}{9,8 \text{ м/с}^2} = 1 \text{ с}$

Ответ: скорость мяча уменьшится до нуля через 1 с.

Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч?

Перемещение мяча, которое соответствует максимальной высоте подъема $h$, можно найти по формуле, связывающей перемещение, начальную и конечную скорости, без использования времени:

$h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}$

Подставим наши значения: $v_y = 0$, $v_{0y} = v_0$ и $a_y = -g$.

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{(9,8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{9,8}{2} \text{ м} = 4,9 \text{ м}$

Проверим результат, используя найденное ранее время $t=1 \text{ с}$ и формулу для перемещения:

$h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

$h = 9,8 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ с} - \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 9,8 \text{ м} - 4,9 \text{ м} = 4,9 \text{ м}$

Результаты совпадают.

Ответ: мяч совершит перемещение 4,9 м.