Страница 68 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. Первый советский искусственный спутник Земли был запущен 4 октября 1957 г. Определите массу этого спутника, если известно, что на Земле на него действовала сила тяжести, равная 819,3 Н.

3. Дано:

Сила тяжести, $F_{тяж} = 819,3$ Н

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

Масса спутника, $m$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, вычисляется по формуле, связывающей массу тела и ускорение свободного падения:

$F_{тяж} = m \cdot g$

где $F_{тяж}$ – сила тяжести, $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения (на поверхности Земли принимается равным приблизительно $9,8$ Н/кг).

Чтобы найти массу спутника, необходимо выразить её из этой формулы:

$m = \frac{F_{тяж}}{g}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и выполним расчет:

$m = \frac{819,3 \, \text{Н}}{9,8 \, \text{Н/кг}} \approx 83,6 \, \text{кг}$

Ответ: масса этого спутника равна 83,6 кг.

4. Ракета пролетает на расстоянии, равном 5000 км от поверхности Земли. Можно ли рассчитывать действующую на космическую ракету силу тяжести, принимая $g = 9,8 \text{ м/с}^2$? (Радиус Земли приблизительно равен 6400 км.) Ответ поясните.

Дано:

Высота ракеты над поверхностью Земли $h = 5000 \text{ км}$

Радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$

$h = 5000 \text{ км} = 5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Можно ли для расчета силы тяжести использовать $g = 9,8 \text{ м/с}^2$?

Решение:

Значение ускорения свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$ является стандартным и используется для расчетов вблизи поверхности Земли. Сила тяжести, действующая на тело, определяется законом всемирного тяготения и зависит от расстояния до центра планеты.

Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра Земли можно выразить формулой: $g(r) = G \frac{M}{r^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, а $M$ — масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, и ускорение свободного падения равно: $g_0 = G \frac{M}{R_З^2} \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до ее центра составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно: $g_h = G \frac{M}{(R_З+h)^2}$

Чтобы определить, насколько изменится ускорение свободного падения, найдем отношение $g_h$ к $g_0$: $\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M}{(R_З+h)^2}}{G \frac{M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З+h)^2} = (\frac{R_З}{R_З+h})^2$

Теперь можно рассчитать значение $g_h$, подставив известные данные: $g_h = g_0 \cdot (\frac{R_З}{R_З+h})^2 = 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (\frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 5000 \text{ км}})^2$ $g_h = 9,8 \cdot (\frac{6400}{11400})^2 \approx 9,8 \cdot (0,5614)^2 \approx 9,8 \cdot 0,315 \approx 3,09 \text{ м/с}^2$

Полученное значение ускорения свободного падения на высоте 5000 км ($g_h \approx 3,1 \text{ м/с}^2$) существенно отличается от значения на поверхности Земли ($g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$). Разница составляет более чем в 3 раза. Высота $h = 5000 \text{ км}$ сопоставима с радиусом Земли $R_З = 6400 \text{ км}$, поэтому пренебрегать изменением ускорения свободного падения нельзя.

Ответ: Нет, рассчитывать действующую на ракету силу тяжести, принимая $g = 9,8 \text{ м/с}^2$, нельзя. На высоте 5000 км ускорение свободного падения составляет приблизительно $3,1 \text{ м/с}^2$, что более чем в 3 раза меньше, чем у поверхности Земли. Использование стандартного значения приведет к грубой ошибке в расчетах.

5. Ястреб в течение некоторого времени может парить на одной и той же высоте над Землёй. Значит ли это, что на него не действует сила тяжести? Что произойдёт с ястребом, если он сложит крылья?

Значит ли это, что на него не действует сила тяжести?

Нет, это неверно. На ястреба, как и на любое другое тело, находящееся вблизи поверхности Земли, действует сила тяжести. Она направлена вертикально вниз. То, что ястреб может парить на одной высоте, означает, что сила тяжести скомпенсирована (уравновешена) другими силами. Согласно первому закону Ньютона, если тело покоится или движется с постоянной скоростью, то сумма всех действующих на него сил равна нулю.

В данном случае на ястреба действуют две основные силы по вертикали:

1. Сила тяжести ($F_{тяж}$), направленная вниз.

2. Подъёмная сила ($F_{под}$), создаваемая его крыльями при взаимодействии с потоками воздуха, направленная вверх.

Поскольку ястреб не меняет свою высоту, его ускорение в вертикальном направлении равно нулю. Это означает, что подъёмная сила в точности равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести: $F_{под} = F_{тяж}$. Таким образом, результирующая сила равна нулю, и ястреб парит.

Ответ: Нет, это не значит, что на ястреба не действует сила тяжести. Это значит, что сила тяжести уравновешена подъёмной силой воздуха, действующей на его крылья.

Что произойдёт с ястребом, если он сложит крылья?

Если ястреб сложит крылья, подъёмная сила, которая поддерживала его в воздухе, практически исчезнет, так как она создается именно формой и площадью крыльев. Сила тяжести при этом никуда не денется и продолжит действовать на птицу.

Равновесие сил нарушится. Теперь на ястреба будет действовать неуравновешенная сила, направленная вниз и равная силе тяжести (если пренебречь силой сопротивления воздуха в начальный момент). Согласно второму закону Ньютона ($F = ma$), под действием этой силы ястреб начнёт двигаться с ускорением, то есть падать вниз. Его скорость будет увеличиваться, пока сила сопротивления воздуха не станет достаточно большой, чтобы уравновесить силу тяжести, после чего падение будет происходить с постоянной скоростью.

Ответ: Если ястреб сложит крылья, он начнёт падать на Землю под действием силы тяжести.

6. С Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести, действующая на космонавта, будет: в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?

Дано:

$n_1 = 4$ (уменьшение силы тяжести в первом случае)

$n_2 = 9$ (уменьшение силы тяжести во втором случае)

$R_З \approx 6400 \text{ км}$ (средний радиус Земли)

Перевод в систему СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h_1, h_2$ — расстояния от поверхности Земли.

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело (в данном случае на космонавта), описывается законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космонавта, а $r$ — расстояние между центрами масс Земли и космонавта.

Перед стартом, когда космонавт находится на поверхности Земли, расстояние до центра Земли равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяжести $F_0$ в этот момент равна: $F_0 = G \frac{M \cdot m}{R_З^2}$

Когда ракета поднимается на высоту $h$ от поверхности, расстояние от космонавта до центра Земли становится равным $r = R_З + h$. Сила тяжести $F_h$ на этой высоте вычисляется как: $F_h = G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи требуется найти высоту $h$, на которой сила тяжести $F_h$ станет в $n$ раз меньше, чем сила тяжести на поверхности $F_0$. Это можно записать в виде отношения: $\frac{F_0}{F_h} = n$

Подставим выражения для сил в это отношение: $\frac{G \frac{M \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2}} = n$

Сократив одинаковые множители ($G, M, m$), получим: $\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = n$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{n}$

Теперь выразим искомую высоту $h$: $R_З + h = R_З \sqrt{n}$

$h = R_З \sqrt{n} - R_З$

$h = R_З (\sqrt{n} - 1)$

Используем эту общую формулу для решения двух частей задачи.

в 4 раза меньше, чем перед стартом

Для этого случая $n_1 = 4$. Подставим это значение в нашу формулу для $h$: $h_1 = R_З (\sqrt{4} - 1) = R_З (2 - 1) = R_З$

Таким образом, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 4 раза, равна радиусу Земли. $h_1 = 6400 \text{ км}$

Ответ: на расстоянии 6400 км от поверхности Земли.

в 9 раз меньше, чем перед стартом

Для этого случая $n_2 = 9$. Подставим это значение в формулу для $h$: $h_2 = R_З (\sqrt{9} - 1) = R_З (3 - 1) = 2R_З$

Следовательно, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 9 раз, равна двум радиусам Земли. $h_2 = 2 \cdot 6400 \text{ км} = 12800 \text{ км}$

Ответ: на расстоянии 12800 км от поверхности Земли.