Номер 4, страница 68 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Ракета пролетает на расстоянии, равном 5000 км от поверхности Земли. Можно ли рассчитывать действующую на космическую ракету силу тяжести, принимая $g = 9,8 \text{ м/с}^2$? (Радиус Земли приблизительно равен 6400 км.) Ответ поясните.

Дано:

Высота ракеты над поверхностью Земли $h = 5000 \text{ км}$

Радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$

$h = 5000 \text{ км} = 5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Можно ли для расчета силы тяжести использовать $g = 9,8 \text{ м/с}^2$?

Решение:

Значение ускорения свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$ является стандартным и используется для расчетов вблизи поверхности Земли. Сила тяжести, действующая на тело, определяется законом всемирного тяготения и зависит от расстояния до центра планеты.

Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра Земли можно выразить формулой: $g(r) = G \frac{M}{r^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, а $M$ — масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, и ускорение свободного падения равно: $g_0 = G \frac{M}{R_З^2} \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до ее центра составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно: $g_h = G \frac{M}{(R_З+h)^2}$

Чтобы определить, насколько изменится ускорение свободного падения, найдем отношение $g_h$ к $g_0$: $\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M}{(R_З+h)^2}}{G \frac{M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З+h)^2} = (\frac{R_З}{R_З+h})^2$

Теперь можно рассчитать значение $g_h$, подставив известные данные: $g_h = g_0 \cdot (\frac{R_З}{R_З+h})^2 = 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (\frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 5000 \text{ км}})^2$ $g_h = 9,8 \cdot (\frac{6400}{11400})^2 \approx 9,8 \cdot (0,5614)^2 \approx 9,8 \cdot 0,315 \approx 3,09 \text{ м/с}^2$

Полученное значение ускорения свободного падения на высоте 5000 км ($g_h \approx 3,1 \text{ м/с}^2$) существенно отличается от значения на поверхности Земли ($g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$). Разница составляет более чем в 3 раза. Высота $h = 5000 \text{ км}$ сопоставима с радиусом Земли $R_З = 6400 \text{ км}$, поэтому пренебрегать изменением ускорения свободного падения нельзя.

Ответ: Нет, рассчитывать действующую на ракету силу тяжести, принимая $g = 9,8 \text{ м/с}^2$, нельзя. На высоте 5000 км ускорение свободного падения составляет приблизительно $3,1 \text{ м/с}^2$, что более чем в 3 раза меньше, чем у поверхности Земли. Использование стандартного значения приведет к грубой ошибке в расчетах.