Номер 6, страница 68 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

6. С Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести, действующая на космонавта, будет: в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?

Дано:

$n_1 = 4$ (уменьшение силы тяжести в первом случае)

$n_2 = 9$ (уменьшение силы тяжести во втором случае)

$R_З \approx 6400 \text{ км}$ (средний радиус Земли)

Перевод в систему СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h_1, h_2$ — расстояния от поверхности Земли.

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело (в данном случае на космонавта), описывается законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космонавта, а $r$ — расстояние между центрами масс Земли и космонавта.

Перед стартом, когда космонавт находится на поверхности Земли, расстояние до центра Земли равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяжести $F_0$ в этот момент равна: $F_0 = G \frac{M \cdot m}{R_З^2}$

Когда ракета поднимается на высоту $h$ от поверхности, расстояние от космонавта до центра Земли становится равным $r = R_З + h$. Сила тяжести $F_h$ на этой высоте вычисляется как: $F_h = G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи требуется найти высоту $h$, на которой сила тяжести $F_h$ станет в $n$ раз меньше, чем сила тяжести на поверхности $F_0$. Это можно записать в виде отношения: $\frac{F_0}{F_h} = n$

Подставим выражения для сил в это отношение: $\frac{G \frac{M \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M \cdot m}{(R_З + h)^2}} = n$

Сократив одинаковые множители ($G, M, m$), получим: $\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = n$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{n}$

Теперь выразим искомую высоту $h$: $R_З + h = R_З \sqrt{n}$

$h = R_З \sqrt{n} - R_З$

$h = R_З (\sqrt{n} - 1)$

Используем эту общую формулу для решения двух частей задачи.

в 4 раза меньше, чем перед стартом

Для этого случая $n_1 = 4$. Подставим это значение в нашу формулу для $h$: $h_1 = R_З (\sqrt{4} - 1) = R_З (2 - 1) = R_З$

Таким образом, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 4 раза, равна радиусу Земли. $h_1 = 6400 \text{ км}$

Ответ: на расстоянии 6400 км от поверхности Земли.

в 9 раз меньше, чем перед стартом

Для этого случая $n_2 = 9$. Подставим это значение в формулу для $h$: $h_2 = R_З (\sqrt{9} - 1) = R_З (3 - 1) = 2R_З$

Следовательно, высота, на которой сила тяжести уменьшится в 9 раз, равна двум радиусам Земли. $h_2 = 2 \cdot 6400 \text{ км} = 12800 \text{ км}$

Ответ: на расстоянии 12800 км от поверхности Земли.