Страница 63 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх. Докажите, что время полёта тела до момента падения на землю вдвое больше времени его подъёма на максимальную высоту. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Дано:

Движение тела вертикально вверх с поверхности земли.

Начальная скорость: $v_0$.

Ускорение: $a = -g$ (ось OY направлена вверх).

Сопротивление воздуха отсутствует.

Найти:

Доказать, что $t_{полета} = 2 \cdot t_{подъема}$.

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, в которой ось OY направлена вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) находится на поверхности земли. Движение тела в этом случае является равноускоренным, так как на него действует только сила тяжести. Ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения, направленному вниз: $a = -g$.

Запишем уравнение для скорости тела в любой момент времени $t$:

$v(t) = v_0 - gt$

И уравнение для координаты (высоты) тела в любой момент времени $t$:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Сначала найдем время подъема тела на максимальную высоту ($t_{подъема}$). В верхней точке траектории (на максимальной высоте) мгновенная скорость тела становится равной нулю. Подставим $v(t_{подъема}) = 0$ в уравнение скорости:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Из этого уравнения выражаем время подъема:

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

Теперь найдем общее время полета ($t_{полета}$). Полет заканчивается, когда тело возвращается на землю, то есть его координата снова становится равной нулю. Подставим $y(t_{полета}) = 0$ в уравнение координаты:

$0 = v_0 t_{полета} - \frac{g t_{полета}^2}{2}$

Это уравнение можно решить, вынеся $t_{полета}$ за скобки:

$t_{полета} \left( v_0 - \frac{g t_{полета}}{2} \right) = 0$

Уравнение имеет два корня. Первый корень, $t_{полета} = 0$, соответствует начальному моменту времени. Второй корень, который нас интересует, находится из выражения в скобках:

$v_0 - \frac{g t_{полета}}{2} = 0$

Отсюда выражаем общее время полета:

$t_{полета} = \frac{2v_0}{g}$

Теперь сравним полученные выражения для времени полета и времени подъема. Мы видим, что:

$t_{полета} = \frac{2v_0}{g} = 2 \cdot \left(\frac{v_0}{g}\right)$

Так как $t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$, то мы получаем искомое соотношение:

$t_{полета} = 2 \cdot t_{подъема}$

Это доказывает, что общее время полета тела вдвое больше времени его подъема на максимальную высоту, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Время полета $t_{полета} = \frac{2v_0}{g}$ ровно в два раза больше времени подъема $t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$, то есть $t_{полета} = 2 \cdot t_{подъема}$.

3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью $15 \text{ м/с}$. Какую скорость будет иметь тело при возвращении в точку броска? Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 15$ м/с

Сопротивление воздуха не учитывается.

Найти:

Скорость тела при возвращении в точку броска, $v$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения механической энергии. Поскольку по условию сопротивлением воздуха пренебрегают, единственной силой, действующей на тело в полете, является сила тяжести. Сила тяжести — консервативная, следовательно, полная механическая энергия системы (тела) сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ представляет собой сумму кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий:

$E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость, $h$ — высота над некоторым нулевым уровнем, $g$ — ускорение свободного падения.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии точку броска.

1. В начальный момент времени (в момент броска) тело находится на высоте $h_0 = 0$ и имеет скорость $v_0 = 15$ м/с. Его полная механическая энергия $E_0$ составляет:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

2. В конечный момент времени (при возвращении в точку броска) тело снова оказывается на высоте $h = 0$, а его скорость равна искомой величине $v$. Полная механическая энергия $E$ в этот момент равна:

$E = \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2}$

3. Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в начале и в конце движения одинакова:

$E_0 = E$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Сократим в уравнении массу $m$ и множитель $1/2$:

$v_0^2 = v^2$

Из этого следует, что модуль скорости тела при возвращении в точку броска равен модулю его начальной скорости:

$v = v_0 = 15$ м/с.

Направление вектора скорости при возвращении будет противоположно начальному (то есть, направлено вниз), однако величина скорости (модуль вектора скорости) будет той же.

Ответ: скорость тела при возвращении в точку броска будет равна 15 м/с.