Страница 59 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют свободным падением тел?

1. Свободное падение тел — это движение тела, которое происходит только под действием силы тяжести (силы притяжения к Земле или другому массивному астрономическому объекту). Это идеализированная физическая модель, в которой пренебрегают всеми остальными силами, действующими на тело, в первую очередь, силой сопротивления воздуха.

Ключевыми характеристиками свободного падения являются:

– Это равноускоренное движение. Ускорение, с которым движется тело, постоянно по модулю и направлению.

– Ускорение, с которым движется тело при свободном падении, называется ускорением свободного падения и обозначается буквой $g$. Оно всегда направлено вертикально вниз, к центру притягивающего тела (например, к центру Земли).

– Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения примерно одинаково для всех тел и составляет $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$. Это означает, что при падении без начальной скорости за каждую секунду движения скорость тела увеличивается на $9,8 \, \text{м/с}$.

– Согласно принципу, установленному Галилео Галилеем, в вакууме все тела, независимо от их массы, формы и размера, падают с одинаковым ускорением $g$.

Модель свободного падения хорошо описывает реальное движение тел в тех случаях, когда сила сопротивления воздуха значительно меньше силы тяжести (например, падение тяжелых, компактных объектов с относительно небольшой высоты) или когда движение происходит в безвоздушном пространстве (в вакууме).

Ответ: Свободным падением называют движение тела, происходящее только под действием силы тяжести, без учета других сил, таких как сопротивление воздуха.

2. Как доказать, что свободное падение шарика, изображённого на рисунке 31, было равно-ускоренным?

1. Свободным падением называют движение тела, на которое действует только сила тяжести. В этом идеализированном случае сопротивление воздуха не учитывается. Такое движение вблизи поверхности Земли является равноускоренным, то есть происходит с постоянным ускорением. Это ускорение называют ускорением свободного падения, обозначают буквой $g$ и его значение у поверхности Земли составляет примерно $9,8 \text{ м/с}^2$. Важной особенностью свободного падения является то, что в вакууме все тела, независимо от их массы, формы и размера, падают с одинаковым ускорением.

Ответ: Свободным падением называют движение тела исключительно под действием силы притяжения Земли (силы тяжести) при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

2. Предположим, что на рисунке 31 представлена стробоскопическая фотография, на которой зафиксированы положения падающего шарика через равные промежутки времени $\Delta t$. Доказать, что его движение было равноускоренным, можно, проанализировав пройденные им расстояния.

Для равноускоренного движения без начальной скорости ($v_0 = 0$) путь $s$, пройденный телом за время $t$, вычисляется по формуле: $s = \frac{at^2}{2}$, где $a$ — постоянное ускорение.

Из этой формулы следует, что пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени, соотносятся как ряд нечетных чисел. То есть, если $\Delta s_1, \Delta s_2, \Delta s_3, \dots$ — это расстояния, которые шарик проходит за первый, второй, третий и так далее промежутки времени $\Delta t$, то для равноускоренного движения должно выполняться соотношение:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Таким образом, для доказательства необходимо измерить по рисунку эти расстояния и проверить, выполняется ли для них указанное соотношение (с учётом погрешности измерений). Если оно выполняется, движение является равноускоренным.

Другой способ — измерить полные пути $s_n$ от начального положения после каждого интервала времени $t_n=n\Delta t$ и проверить, что они относятся как квадраты натуральных чисел:

$s_1 : s_2 : s_3 : \dots = 1^2 : 2^2 : 3^2 : \dots = 1 : 4 : 9 : \dots$

Ответ: Чтобы доказать, что падение равноускоренное, нужно измерить расстояния, пройденные шариком за последовательные равные промежутки времени, и показать, что они относятся как ряд нечетных чисел ($1:3:5:\dots$), или что полные пути от точки старта относятся как квадраты целых чисел ($1:4:9:\dots$).

3. Опыт, изображённый на рисунке 31, ставился для исследования характера движения тела при свободном падении. Основная цель такого эксперимента — наглядно продемонстрировать и экспериментально подтвердить, что свободное падение является равноускоренным движением. На основе данных, полученных в ходе опыта (измерений расстояний, пройденных телом за определённые промежутки времени), можно также вычислить численное значение ускорения свободного падения $g$.

Ответ: Цель опыта — изучить характер движения тела при свободном падении и экспериментально доказать, что это движение является равноускоренным, а также, возможно, определить величину ускорения свободного падения.

3. С какой целью ставился опыт, изображённый на рисунке 32, и какой вывод из него следует?

3. С какой целью ставился опыт, изображённый на рисунке 32, и какой вывод из него следует?

Поскольку изображение самого рисунка 32 отсутствует, можно предположить, что на нем изображен один из классических опытов по изучению равноускоренного движения, например, опыт с трубкой Ньютона (падение тел в вакууме) или опыты Галилея по скатыванию шаров по наклонной плоскости.

Цель опыта: Продемонстрировать и исследовать характер движения тел под действием силы тяжести. Основная задача таких опытов — показать, что в отсутствие сил сопротивления (например, сопротивления воздуха) все тела падают на Землю с одинаковым ускорением, которое не зависит от их массы, формы или размера. Если же опыт демонстрирует скатывание шарика по желобу, то его цель — доказать, что движение является равноускоренным, то есть скорость тела увеличивается на одну и ту же величину за равные промежутки времени.

Вывод из опыта: Главный вывод заключается в том, что ускорение свободного падения ($g$) является постоянной величиной для всех тел вблизи поверхности Земли (при условии, что можно пренебречь сопротивлением воздуха). Движение тел под действием одной лишь силы тяжести является равноускоренным. Различия в скорости падения разных предметов в реальных условиях (например, пера и камня в воздухе) объясняются исключительно влиянием силы сопротивления воздуха, которая зависит от формы, размеров и скорости тела.

Ответ: Цель опыта — доказать, что движение под действием силы тяжести является равноускоренным и что ускорение этого движения не зависит от массы тела. Вывод — в вакууме все тела падают с одинаковым ускорением; наблюдаемые в воздухе различия в скорости падения вызваны силой сопротивления воздуха.

4. Что такое ускорение

Ускорение — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела по модулю и (или) по направлению. Иными словами, ускорение показывает, на какую величину изменяется вектор скорости тела за единицу времени.

Ускорение принято обозначать символом $\vec{a}$. Если за промежуток времени $\Delta t$ скорость тела изменилась на $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{v}_0$, где $\vec{v}$ — конечная скорость, а $\vec{v}_0$ — начальная скорость, то среднее ускорение можно рассчитать по формуле: $$ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{\Delta t} $$

Будучи векторной величиной, ускорение имеет и численное значение (модуль), и направление. Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости $\Delta \vec{v}$. Если скорость тела увеличивается по модулю (тело разгоняется), вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости. Если скорость тела уменьшается по модулю (тело тормозит), вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости (такое движение называют замедленным). Движение также является ускоренным, если скорость постоянна по модулю, но меняется ее направление, как, например, при движении тела по окружности.

В Международной системе единиц (СИ) ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($м/с^2$). Ускорение, равное $1 \, м/с^2$, означает, что за каждую секунду скорость тела изменяется на $1 \, м/с$.

Ответ: Ускорение — это векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло. Она показывает, как быстро меняется скорость тела (по модулю и/или направлению), и измеряется в $м/с^2$.

4. Что такое ускорение свободного падения?

4. Ускорение свободного падения — это ускорение, которое сообщает телу сила тяжести при движении в безвоздушном пространстве (вакууме). Иными словами, это ускорение, с которым падало бы тело, если бы на него не действовали никакие другие силы, кроме силы гравитационного притяжения Земли (или другого небесного тела).

Основные характеристики ускорения свободного падения:

• Обозначается буквой $g$.
• Является векторной величиной, направленной вертикально вниз, к центру Земли.
• Вблизи поверхности Земли его среднее значение составляет примерно $g \approx 9,8 \, м/с^2$. Это означает, что в вакууме скорость свободно падающего тела каждую секунду увеличивается на $9,8 \, м/с$.
• Согласно принципу эквивалентности, ускорение свободного падения не зависит от массы, формы или состава падающего тела. В вакууме все тела — и пушинка, и свинцовая дробинка — падают с одинаковым ускорением.
• Значение $g$ не является абсолютно постоянным для всей планеты. Оно незначительно изменяется в зависимости от географической широты (на полюсах оно немного больше, чем на экваторе) и высоты над уровнем моря (с увеличением высоты оно уменьшается).

Формула для расчета ускорения свободного падения на расстоянии $R$ от центра планеты массой $M$: $g = G\frac{M}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная.

Ответ: Ускорение свободного падения ($g$) — это ускорение, сообщаемое телу силой тяжести в отсутствие других сил, таких как сопротивление воздуха. Оно направлено к центру Земли, его среднее значение у поверхности составляет $g \approx 9,8 \, м/с^2$ и, что важно, оно не зависит от массы падающего тела.

5. В реальных условиях, в воздухе, на любое падающее тело действуют две основные силы:

1. Сила тяжести ($F_{тяж} = mg$): направлена вертикально вниз и пропорциональна массе тела $m$.
2. Сила сопротивления воздуха ($F_{сопр}$): направлена вертикально вверх, против движения, и зависит от скорости, формы и размеров (площади поперечного сечения) тела.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила, действующая на тело, определяет его ускорение $a$: $ma = F_{тяж} - F_{сопр}$. Отсюда ускорение тела равно $a = \frac{F_{тяж} - F_{сопр}}{m} = \frac{mg - F_{сопр}}{m} = g - \frac{F_{сопр}}{m}$.

Теперь сравним падение кусочка ваты и свинцовой дробинки:

• Кусочек ваты: имеет очень маленькую массу ($m$) и большую, неровную поверхность. Из-за большой площади и малой обтекаемости сила сопротивления воздуха ($F_{сопр}$) для ваты становится значительной даже при небольшой скорости падения. Отношение силы сопротивления к массе ($\frac{F_{сопр}}{m}$) оказывается очень большим.
• Свинцовая дробинка: имеет значительно большую массу при относительно небольшом размере и гладкой, сферической форме. Это делает силу сопротивления воздуха ($F_{сопр}$) незначительной по сравнению с ее весом ($mg$). Поэтому отношение силы сопротивления к массе ($\frac{F_{сопр}}{m}$) для дробинки намного меньше.

Таким образом, из формулы $a = g - \frac{F_{сопр}}{m}$ видно, что у кусочка ваты из-за большого значения дроби $\frac{F_{сопр}}{m}$ ускорение $a$ будет значительно меньше, чем ускорение свободного падения $g$. У свинцовой дробинки эта дробь мала, и ее ускорение падения $a$ очень близко к $g$. В предельном случае (в вакууме), когда $F_{сопр} = 0$, оба тела падали бы с одинаковым ускорением $a = g$.

Ответ: Кусочек ваты падает с меньшим ускорением из-за силы сопротивления воздуха. При своей малой массе вата имеет большую площадь поверхности, что создает значительную силу сопротивления, которая сильно замедляет ее падение. У свинцовой дробинки, которая тяжелее и компактнее, влияние сопротивления воздуха на ее движение гораздо меньше.

5. Почему в воздухе кусочек ваты падает с меньшим ускорением, чем железный шарик?

5. Падение тел в воздухе отличается от свободного падения в вакууме из-за наличия силы сопротивления воздуха. На любое тело, падающее в атмосфере, действуют две основные силы:

1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз: $F_т = mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

2. Сила сопротивления воздуха ($F_с$), направленная вертикально вверх, против движения. Эта сила зависит от формы, размеров (площади поперечного сечения) и скорости тела.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила, действующая на тело, определяет его ускорение $a$: $F_{рез} = F_т - F_с = ma$

Отсюда ускорение тела равно: $a = \frac{F_т - F_с}{m} = \frac{mg - F_с}{m} = g - \frac{F_с}{m}$

Теперь сравним кусочек ваты и железный шарик.

- Железный шарик: имеет большую массу $m$ и относительно небольшую площадь поперечного сечения. Сила тяжести, действующая на него, значительна. Сила сопротивления воздуха $F_с$ по сравнению с силой тяжести мала, поэтому отношение $\frac{F_с}{m}$ невелико. В результате, ускорение шарика $a$ будет лишь ненамного меньше ускорения свободного падения $g$.

- Кусочек ваты: имеет очень маленькую массу $m$ и при этом большую площадь поверхности неправильной формы. Из-за большой площади сила сопротивления воздуха $F_с$ становится существенной даже при малых скоростях. Отношение силы сопротивления к массе, $\frac{F_с}{m}$, для ваты оказывается очень большим.

Поскольку ускорение падения равно $a = g - \frac{F_с}{m}$, а вычитаемый член $\frac{F_с}{m}$ для ваты гораздо больше, чем для шарика, то и итоговое ускорение кусочка ваты оказывается значительно меньше.

Ответ: Кусочек ваты падает с меньшим ускорением, чем железный шарик, из-за силы сопротивления воздуха. Для ваты, имеющей малую массу и большую поверхность, эта сила составляет значительную долю от силы тяжести, в то время как для массивного и компактного шарика влиянием сопротивления воздуха можно практически пренебречь.

6. Первым учёным, который пришёл к выводу, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают на Землю с одинаковым ускорением, независимо от их массы, был итальянский учёный Галилео Галилей. Он опроверг учение Аристотеля, который считал, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких. Галилей проводил эксперименты, скатывая шары по наклонной плоскости, что позволяло "замедлить" падение и точно измерить время и расстояние. Эти опыты и его мысленные эксперименты позволили ему сформулировать закон свободного падения.

Ответ: Первым к выводу, что все тела в вакууме падают с одинаковым ускорением, пришёл Галилео Галилей.

6. Кто первым пришёл к выводу о том, что свободное падение является равноускоренным движением?

6. Первым к выводу о том, что свободное падение является равноускоренным движением, пришёл итальянский учёный Галилео Галилей в конце XVI - начале XVII века. До него в науке господствовало учение Аристотеля, согласно которому более тяжёлые тела падают быстрее, чем лёгкие.

Галилей провёл ряд экспериментов, которые опровергли взгляды Аристотеля. Наиболее известным, хотя, возможно, и легендарным, является его опыт по сбрасыванию шаров разной массы с наклонной Пизанской башни. Наблюдения показали, что тела, несмотря на разницу в массе, достигают земли практически одновременно. Небольшие расхождения объяснялись сопротивлением воздуха.

Для более точного изучения законов падения Галилей использовал "замедленное" движение — скатывание шаров по наклонному жёлобу. Уменьшая угол наклона, он мог замедлить движение и с большей точностью измерить время и пройденное расстояние. В ходе этих опытов он установил ключевую закономерность: путь, проходимый телом при равноускоренном движении из состояния покоя, пропорционален квадрату времени движения: $s \propto t^2$

Это открытие позволило ему заключить, что свободное падение (при пренебрежении сопротивлением воздуха) — это движение с постоянным ускорением, которое одинаково для всех тел и не зависит от их массы. Это ускорение сейчас известно как ускорение свободного падения ($g$).

Ответ: Первым к выводу о том, что свободное падение является равноускоренным движением, пришёл Галилео Галилей.

Шарик свободно падает на горизонтальную плиту с высоты $H$. Начертите графики зависимости скорости шарика и его высоты над плитой от времени. Временем удара пренебречь.

Дано:

Шарик свободно падает с высоты $H$.

Начальная скорость: $v_0 = 0$.

Ускорение свободного падения: $g$.

Предполагается, что удар о плиту абсолютно упругий (шарик отскакивает на ту же высоту), а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Время удара пренебрежимо мало.

Найти:

1. График зависимости высоты шарика над плитой от времени $h(t)$.

2. График зависимости скорости шарика от времени $v(t)$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с плитой. Начало координат ($h=0$) расположим на поверхности плиты, а ось $h$ направим вертикально вверх. В этой системе отсчета ускорение шарика постоянно и равно $a = -g$.

Сначала определим время падения шарика с высоты $H$. Так как движение равноускоренное, используем формулу для высоты:

$h(t) = h_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Подставляя начальные условия ($h_0=H, v_0=0, a=-g$), получаем уравнение движения до первого удара:

$h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

Шарик коснется плиты, когда $h=0$. Найдем время падения $t_1$:

$0 = H - \frac{gt_1^2}{2} \Rightarrow t_1^2 = \frac{2H}{g} \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

График зависимости высоты шарика над плитой от времени ($h(t)$)

Движение шарика является периодическим. Оно состоит из повторяющихся циклов падения и отскока.

Этап 1: Падение (интервал $0 \le t \le t_1$).

Высота изменяется по закону $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, H)$ и заканчивающаяся в точке $(t_1, 0)$.

Этап 2: Отскок и подъем (интервал $t_1 \le t \le 2t_1$).

Поскольку удар абсолютно упругий, шарик отскакивает и поднимается на прежнюю высоту $H$. По симметрии, время подъема равно времени падения $t_1$. Таким образом, шарик достигнет максимальной высоты в момент времени $t_2 = t_1 + t_1 = 2t_1$. Уравнение движения на этом участке представляет собой другую параболическую дугу, симметричную первой относительно вертикальной прямой $t=t_1$. Она начинается в точке $(t_1, 0)$ и заканчивается в $(2t_1, H)$.

Последующее движение.

Процесс повторяется. Шарик снова падает с высоты $H$ за время $t_1$ (достигая плиты в $t_3=3t_1$), отскакивает и т.д. Период полного колебания (падение и подъем) равен $T = 2t_1 = 2\sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Таким образом, график $h(t)$ представляет собой последовательность параболических арок, вершины которых находятся на высоте $H$ в моменты времени $t=0, 2t_1, 4t_1, \dots$, а основания касаются оси времени в точках $t=t_1, 3t_1, 5t_1, \dots$.

Ответ: График зависимости высоты от времени $h(t)$ — это периодическая функция (период $T = 2\sqrt{2H/g}$), состоящая из сегментов парабол. График начинается в точке $(0, H)$, опускается до $(t_1, 0)$, где $t_1=\sqrt{2H/g}$, затем симметрично поднимается до $(2t_1, H)$, снова опускается до $(3t_1, 0)$ и так далее. Все параболические арки имеют одинаковую форму.

График зависимости скорости шарика от времени ($v(t)$)

Проекция скорости на ось $h$ изменяется по закону $v(t) = v_0 + at$.

Этап 1: Падение (интервал $0 \le t < t_1$).

Начальная скорость $v_0 = 0$, ускорение $a=-g$. Тогда $v(t) = -gt$. Это линейная зависимость. Скорость изменяется от $v(0)=0$ до скорости непосредственно перед ударом:

$v_{удар} = v(t_1) = -gt_1 = -g\sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2gH}$

Момент удара (t = $t_1$).

При абсолютно упругом ударе о неподвижную плиту скорость шарика мгновенно меняет направление на противоположное, сохраняя свою величину. Скорость сразу после отскока:

$v_{отскок} = -v_{удар} = -(-\sqrt{2gH}) = \sqrt{2gH}$

На графике $v(t)$ это соответствует вертикальному скачку от $-\sqrt{2gH}$ до $+\sqrt{2gH}$.

Этап 2: Подъем и падение (интервал $t_1 < t < 3t_1$).

После отскока шарик движется с начальной скоростью $v_{отскок}$ и ускорением $a=-g$. Уравнение скорости: $v(t) = v_{отскок} - g(t-t_1) = \sqrt{2gH} - g(t-t_1)$. Это снова линейная зависимость с тем же наклоном $-g$. В момент времени $t_2=2t_1$ (верхняя точка траектории) скорость становится равной нулю. К моменту следующего удара $t_3=3t_1$ скорость достигает значения $v(3t_1) = \sqrt{2gH} - g(3t_1-t_1) = \sqrt{2gH} - 2gt_1 = \sqrt{2gH} - 2\sqrt{2gH} = -\sqrt{2gH}$.

Процесс повторяется периодически.

Таким образом, график $v(t)$ имеет "пилообразную" форму. Он состоит из отрезков прямых с одинаковым отрицательным наклоном, равным $-g$. В моменты ударов ($t_1, 3t_1, 5t_1, \dots$) происходят разрывы, где скорость мгновенно меняется с $-\sqrt{2gH}$ на $+\sqrt{2gH}$.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ — это периодическая "пилообразная" функция. При $t=0, v=0$. Затем скорость линейно убывает до $v=-\sqrt{2gH}$ в момент времени $t_1=\sqrt{2H/g}$. В этот момент происходит мгновенный скачок до $v=+\sqrt{2gH}$. Далее скорость снова линейно убывает, проходя через ноль в момент $t=2t_1$ и достигая $v=-\sqrt{2gH}$ в момент $t=3t_1$. Затем цикл повторяется. Период функции равен $2t_1=2\sqrt{2H/g}$.

1. С какой высоты свободно падала сосулька, если расстояние до земли она преодолела за 4 с?

1. Дано:

Время падения, $t = 4 \text{ с}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (так как падение свободное)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Высота, $h$

Решение:

Свободное падение является равноускоренным движением. Высоту, с которой падало тело, можно определить с помощью формулы для перемещения при равноускоренном движении:

$h = v_0 t + \frac{g t^2}{2}$

Так как в условии сказано, что сосулька падала свободно, это означает, что её начальная скорость $v_0$ равна нулю. Тогда формула принимает вид:

$h = \frac{g t^2}{2}$

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу и произвести расчет:

$h = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 16 \text{ с}^2}{2} = \frac{156,8 \text{ м}}{2} = 78,4 \text{ м}$

Ответ: сосулька падала с высоты $78,4 \text{ м}$.

2. Определите время падения монетки, если её выронили из рук на высоте 80 см над землёй. (Принять $g = 10 \text{ м/с}^2$.)

Дано:

Высота, $h = 80 \text{ см}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (так как монетку выронили)

Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с}^2$

$h = 80 \text{ см} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Время падения, $t$

Решение:

Движение монетки является свободным падением, то есть равноускоренным движением без начальной скорости. Высоту, пройденную телом при свободном падении, можно найти по формуле:

$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Поскольку начальная скорость $v_0$ равна нулю, формула упрощается:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этой формулы время падения $t$:

$2h = gt^2$

$t^2 = \frac{2h}{g}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.8 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{1.6}{10} \text{ с}^2} = \sqrt{0.16 \text{ с}^2} = 0.4 \text{ с}$

Ответ: время падения монетки составляет 0.4 с.

3. Маленький стальной шарик упал с высоты 45 м. Сколько времени длилось его падение? Какое перемещение совершил шарик за первую и последнюю секунды своего движения? (Принять $g = 10 \text{ м}/\text{с}^2$.)

Дано:

Высота падения $h = 45$ м

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с (так как шарик "упал")

Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Общее время падения $t$ - ?

2. Перемещение за первую секунду $s_1$ - ?

3. Перемещение за последнюю секунду $s_{посл}$ - ?

Решение:

Движение шарика является свободным падением, то есть равноускоренным движением без начальной скорости. Путь, пройденный телом при таком движении, определяется формулой:

$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула принимает вид:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Сколько времени длилось его падение?

Для нахождения общего времени падения $t$ выразим его из формулы для высоты:

$2h = gt^2$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 45 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{90}{10}} \text{ с} = \sqrt{9} \text{ с} = 3 \text{ с}$

Ответ: падение длилось 3 секунды.

Какое перемещение совершил шарик за первую и последнюю секунды своего движения?

1. Перемещение за первую секунду.

Найдем путь $s_1$, пройденный шариком за первую секунду полета ($t_1 = 1$ с), используя ту же формулу:

$s_1 = \frac{gt_1^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{10}{2} \text{ м} = 5 \text{ м}$

2. Перемещение за последнюю секунду.

Общее время падения составляет 3 секунды. Последняя секунда движения — это третья секунда, то есть промежуток времени между $t_2 = 2$ с и $t_3 = 3$ с. Чтобы найти перемещение за этот интервал, необходимо из пути, пройденного за все время падения ($s_3 = h$), вычесть путь, пройденный за первые две секунды ($s_2$).

Путь за 3 секунды равен высоте падения: $s_3 = h = 45$ м.

Найдем путь, пройденный за 2 секунды:

$s_2 = \frac{gt_2^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} \text{ м} = 20 \text{ м}$

Теперь вычислим перемещение за последнюю (третью) секунду:

$s_{посл} = s_3 - s_2 = 45 \text{ м} - 20 \text{ м} = 25 \text{ м}$

Ответ: перемещение за первую секунду составило 5 м, а за последнюю — 25 м.

4. С какой скоростью камень достигнет земли, если он падал 2,5 с?

Дано:

Время падения камня, $t = 2,5 \, \text{с}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \, \text{м/с}$ (подразумевается, что камень падает из состояния покоя)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$ (стандартное значение у поверхности Земли)

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Конечную скорость камня $v$ в момент достижения земли.

Решение:

Падение камня является примером свободного падения, которое представляет собой равноускоренное движение. Скорость тела при равноускоренном движении находится по формуле:

$v = v_0 + at$

В случае свободного падения ускорение $a$ равно ускорению свободного падения $g$. Так как камень падал, его начальная скорость $v_0$ равна нулю.

Следовательно, формула для вычисления конечной скорости упрощается до вида:

$v = gt$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти скорость камня в момент достижения земли:

$v = 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 2,5 \, \text{с}$

$v = 24,5 \, \text{м/с}$

Ответ: камень достигнет земли со скоростью 24,5 м/с.

5. С высоты 10 м над землёй вертикально вверх брошен камень со скоростью 5 м/с. Определите путь, пройденный камнем до соприкосновения с землёй.

Дано:

Начальная высота: $h_0 = 10$ м

Начальная скорость: $v_0 = 5$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Путь, пройденный камнем, $S$ - ?

Решение:

Движение камня можно разделить на два этапа:

1. Движение вертикально вверх от начальной высоты до точки максимального подъема.

2. Свободное падение с максимальной высоты до поверхности земли.

Общий пройденный путь $S$ будет равен сумме расстояний, пройденных на этих двух этапах: $S = h_{подъема} + h_{падения}$.

Найдем высоту подъема $h_{подъема}$ от точки броска. В верхней точке траектории скорость камня становится равной нулю. Воспользуемся формулой для высоты при равнозамедленном движении:

$h_{подъема} = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим известные значения:

$h_{подъема} = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{2 \times 10 \text{ м/с}^2} = \frac{25}{20} \text{ м} = 1.25 \text{ м}$

Теперь определим максимальную высоту $H_{макс}$, на которую поднимется камень относительно земли. Она равна сумме начальной высоты и высоты подъема:

$H_{макс} = h_0 + h_{подъема} = 10 \text{ м} + 1.25 \text{ м} = 11.25 \text{ м}$

Путь, пройденный камнем при падении $h_{падения}$, равен максимальной высоте над землей:

$h_{падения} = H_{макс} = 11.25 \text{ м}$

Теперь можем найти общий путь $S$ как сумму пути вверх и пути вниз:

$S = h_{подъема} + h_{падения} = 1.25 \text{ м} + 11.25 \text{ м} = 12.5 \text{ м}$

Ответ: путь, пройденный камнем до соприкосновения с землей, составляет 12.5 м.