Номер 1, страница 59 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Шарик свободно падает на горизонтальную плиту с высоты $H$. Начертите графики зависимости скорости шарика и его высоты над плитой от времени. Временем удара пренебречь.

Дано:

Шарик свободно падает с высоты $H$.

Начальная скорость: $v_0 = 0$.

Ускорение свободного падения: $g$.

Предполагается, что удар о плиту абсолютно упругий (шарик отскакивает на ту же высоту), а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Время удара пренебрежимо мало.

Найти:

1. График зависимости высоты шарика над плитой от времени $h(t)$.

2. График зависимости скорости шарика от времени $v(t)$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с плитой. Начало координат ($h=0$) расположим на поверхности плиты, а ось $h$ направим вертикально вверх. В этой системе отсчета ускорение шарика постоянно и равно $a = -g$.

Сначала определим время падения шарика с высоты $H$. Так как движение равноускоренное, используем формулу для высоты:

$h(t) = h_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Подставляя начальные условия ($h_0=H, v_0=0, a=-g$), получаем уравнение движения до первого удара:

$h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

Шарик коснется плиты, когда $h=0$. Найдем время падения $t_1$:

$0 = H - \frac{gt_1^2}{2} \Rightarrow t_1^2 = \frac{2H}{g} \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

График зависимости высоты шарика над плитой от времени ($h(t)$)

Движение шарика является периодическим. Оно состоит из повторяющихся циклов падения и отскока.

Этап 1: Падение (интервал $0 \le t \le t_1$).

Высота изменяется по закону $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, H)$ и заканчивающаяся в точке $(t_1, 0)$.

Этап 2: Отскок и подъем (интервал $t_1 \le t \le 2t_1$).

Поскольку удар абсолютно упругий, шарик отскакивает и поднимается на прежнюю высоту $H$. По симметрии, время подъема равно времени падения $t_1$. Таким образом, шарик достигнет максимальной высоты в момент времени $t_2 = t_1 + t_1 = 2t_1$. Уравнение движения на этом участке представляет собой другую параболическую дугу, симметричную первой относительно вертикальной прямой $t=t_1$. Она начинается в точке $(t_1, 0)$ и заканчивается в $(2t_1, H)$.

Последующее движение.

Процесс повторяется. Шарик снова падает с высоты $H$ за время $t_1$ (достигая плиты в $t_3=3t_1$), отскакивает и т.д. Период полного колебания (падение и подъем) равен $T = 2t_1 = 2\sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Таким образом, график $h(t)$ представляет собой последовательность параболических арок, вершины которых находятся на высоте $H$ в моменты времени $t=0, 2t_1, 4t_1, \dots$, а основания касаются оси времени в точках $t=t_1, 3t_1, 5t_1, \dots$.

Ответ: График зависимости высоты от времени $h(t)$ — это периодическая функция (период $T = 2\sqrt{2H/g}$), состоящая из сегментов парабол. График начинается в точке $(0, H)$, опускается до $(t_1, 0)$, где $t_1=\sqrt{2H/g}$, затем симметрично поднимается до $(2t_1, H)$, снова опускается до $(3t_1, 0)$ и так далее. Все параболические арки имеют одинаковую форму.

График зависимости скорости шарика от времени ($v(t)$)

Проекция скорости на ось $h$ изменяется по закону $v(t) = v_0 + at$.

Этап 1: Падение (интервал $0 \le t < t_1$).

Начальная скорость $v_0 = 0$, ускорение $a=-g$. Тогда $v(t) = -gt$. Это линейная зависимость. Скорость изменяется от $v(0)=0$ до скорости непосредственно перед ударом:

$v_{удар} = v(t_1) = -gt_1 = -g\sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2gH}$

Момент удара (t = $t_1$).

При абсолютно упругом ударе о неподвижную плиту скорость шарика мгновенно меняет направление на противоположное, сохраняя свою величину. Скорость сразу после отскока:

$v_{отскок} = -v_{удар} = -(-\sqrt{2gH}) = \sqrt{2gH}$

На графике $v(t)$ это соответствует вертикальному скачку от $-\sqrt{2gH}$ до $+\sqrt{2gH}$.

Этап 2: Подъем и падение (интервал $t_1 < t < 3t_1$).

После отскока шарик движется с начальной скоростью $v_{отскок}$ и ускорением $a=-g$. Уравнение скорости: $v(t) = v_{отскок} - g(t-t_1) = \sqrt{2gH} - g(t-t_1)$. Это снова линейная зависимость с тем же наклоном $-g$. В момент времени $t_2=2t_1$ (верхняя точка траектории) скорость становится равной нулю. К моменту следующего удара $t_3=3t_1$ скорость достигает значения $v(3t_1) = \sqrt{2gH} - g(3t_1-t_1) = \sqrt{2gH} - 2gt_1 = \sqrt{2gH} - 2\sqrt{2gH} = -\sqrt{2gH}$.

Процесс повторяется периодически.

Таким образом, график $v(t)$ имеет "пилообразную" форму. Он состоит из отрезков прямых с одинаковым отрицательным наклоном, равным $-g$. В моменты ударов ($t_1, 3t_1, 5t_1, \dots$) происходят разрывы, где скорость мгновенно меняется с $-\sqrt{2gH}$ на $+\sqrt{2gH}$.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ — это периодическая "пилообразная" функция. При $t=0, v=0$. Затем скорость линейно убывает до $v=-\sqrt{2gH}$ в момент времени $t_1=\sqrt{2H/g}$. В этот момент происходит мгновенный скачок до $v=+\sqrt{2gH}$. Далее скорость снова линейно убывает, проходя через ноль в момент $t=2t_1$ и достигая $v=-\sqrt{2gH}$ в момент $t=3t_1$. Затем цикл повторяется. Период функции равен $2t_1=2\sqrt{2H/g}$.