Номер 4, страница 231 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4*. Используя уравнения (4) и (5), докажите, что $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$, где $n_1$ — абсолютный показатель преломления первой среды, а $n_2$ — второй.

Указание: выразите из уравнения (5) скорость $\text{v}$ света в среде через $\text{c}$ и $\text{n}$; по аналогии с полученной формулой запишите формулы для определения скоростей $v_1$ и $v_2$, входящих в уравнение (4); замените в уравнении (4) $v_1$ и $v_2$ на соответствующие им буквенные выражения и упростите полученную формулу.

Дано:

В задаче требуется использовать два уравнения, которые являются стандартными определениями для показателей преломления:

Уравнение (4) для относительного показателя преломления $n_{21}$ второй среды относительно первой: $n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$.

Уравнение (5) для абсолютного показателя преломления среды $n$: $n = \frac{c}{v}$.

Здесь $n_1$ и $n_2$ — абсолютные показатели преломления первой и второй сред, $v_1$ и $v_2$ — скорости света в этих средах, а $c$ — скорость света в вакууме.

Доказать:

$n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$

Решение:

Следуя указанию в задаче, начнем с уравнения (5), которое определяет абсолютный показатель преломления $n$ для любой среды:

$n = \frac{c}{v}$

Из этого уравнения выразим скорость света $v$ в среде:

$v = \frac{c}{n}$

Применим эту формулу по аналогии для первой и второй сред. Скорость света в первой среде ($v_1$) с абсолютным показателем преломления $n_1$ будет равна:

$v_1 = \frac{c}{n_1}$

Скорость света во второй среде ($v_2$) с абсолютным показателем преломления $n_2$ будет равна:

$v_2 = \frac{c}{n_2}$

Теперь воспользуемся уравнением (4), которое определяет относительный показатель преломления второй среды относительно первой:

$n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$

Подставим в это уравнение выражения для скоростей $v_1$ и $v_2$, которые мы получили ранее:

$n_{21} = \frac{\frac{c}{n_1}}{\frac{c}{n_2}}$

Для упрощения полученной многоэтажной дроби, мы деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:

$n_{21} = \frac{c}{n_1} \cdot \frac{n_2}{c}$

В полученном выражении скорость света в вакууме $c$ находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому ее можно сократить:

$n_{21} = \frac{\cancel{c} \cdot n_2}{n_1 \cdot \cancel{c}} = \frac{n_2}{n_1}$

Таким образом, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ: Использование уравнений $n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$ и $n = \frac{c}{v}$ и подстановка выражений для скоростей $v_1 = \frac{c}{n_1}$ и $v_2 = \frac{c}{n_2}$ в первое уравнение приводит к формуле $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$, что и требовалось доказать.