Страница 231 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Какое из двух веществ является оптически более плотным?

1. Оптическая плотность вещества — это характеристика, которая описывает, как изменяется скорость света при переходе из вакуума в данную среду. Среда, в которой скорость распространения света меньше, называется оптически более плотной. Среда, в которой скорость света больше, называется оптически менее плотной.

Для количественного сравнения оптической плотности различных сред используют величину, называемую (абсолютным) показателем преломления. Показатель преломления $n$ показывает, во сколько раз скорость света в вакууме $c$ больше скорости света в данной среде $v$. Он вычисляется по формуле:

$n = \frac{c}{v}$

Из этой формулы следует, что чем больше показатель преломления $n$ у вещества, тем меньше в нем скорость света $v$, и, следовательно, тем более оптически плотным является это вещество.

Таким образом, чтобы определить, какое из двух веществ является оптически более плотным, нужно сравнить их показатели преломления. Вещество с большим показателем преломления будет оптически более плотным.

Например, показатель преломления воздуха близок к 1 ($n_{воздуха} \approx 1.0003$), показатель преломления воды — около 1.33 ($n_{воды} \approx 1.33$), а алмаза — около 2.42 ($n_{алмаза} \approx 2.42$). Сравнивая их, можно сказать, что алмаз является оптически более плотной средой, чем вода, а вода — оптически более плотной, чем воздух.

Ответ: Оптически более плотным является то вещество, у которого больше показатель преломления. В таком веществе скорость распространения света меньше.

2. Как определяются показатели преломления через скорость света в средах?

1. Какое из двух веществ является оптически более плотным?

Оптическая плотность среды — это характеристика, показывающая, насколько сильно среда преломляет свет. Среда, у которой абсолютный показатель преломления больше, называется оптически более плотной. В такой среде скорость распространения света меньше, чем в среде с меньшим показателем преломления. Таким образом, из двух веществ оптически более плотным является то, у которого больше показатель преломления и, как следствие, в котором скорость света меньше.

Ответ: Оптически более плотным является вещество с большим абсолютным показателем преломления.

2. Как определяются показатели преломления через скорость света в средах?

Существует два вида показателей преломления: абсолютный и относительный.

Абсолютный показатель преломления среды $n$ — это безразмерная физическая величина, равная отношению скорости света в вакууме $c$ к фазовой скорости света в данной среде $v$. Он показывает, во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме.

Формула для абсолютного показателя преломления: $n = \frac{c}{v}$

Относительный показатель преломления второй среды относительно первой $n_{21}$ определяется как отношение скорости света в первой среде $v_1$ ко скорости света во второй среде $v_2$. Он также равен отношению их абсолютных показателей преломления ($n_2$ и $n_1$).

Формула для относительного показателя преломления: $n_{21} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$

Ответ: Абсолютный показатель преломления $n$ определяется по формуле $n = \frac{c}{v}$, где $c$ – скорость света в вакууме, а $v$ – скорость света в среде. Относительный показатель преломления $n_{21}$ определяется как отношение скоростей света в первой ($v_1$) и второй ($v_2$) средах: $n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$.

3. Где свет распространяется с наибольшей скоростью?

Свет распространяется с наибольшей скоростью в вакууме. Эта скорость является предельной скоростью распространения любых сигналов и взаимодействий в природе и представляет собой фундаментальную физическую постоянную, обозначаемую латинской буквой $c$. Её точное значение составляет $c = 299\ 792\ 458$ м/с. В любой другой среде (например, в воздухе, воде, стекле) скорость света $v$ меньше, чем в вакууме. Это связано с тем, что абсолютный показатель преломления любой материальной среды $n$ всегда больше единицы, а скорость света в среде связана со скоростью света в вакууме соотношением $v = \frac{c}{n}$.

Ответ: Свет распространяется с наибольшей скоростью в вакууме.

3. Где свет распространяется с наибольшей скоростью?

3. Решение

Скорость распространения света зависит от оптической плотности среды, в которой он движется. Максимальная скорость света, являющаяся фундаментальной физической константой, достигается в вакууме. Эта скорость обозначается буквой $c$ и составляет примерно $3 \cdot 10^8$ м/с.

При прохождении света через любую материальную среду (например, воздух, воду, стекло) его скорость уменьшается. Степень замедления света в среде характеризуется абсолютным показателем преломления $n$. Связь между скоростью света в среде $v$, скоростью света в вакууме $c$ и показателем преломления среды $n$ описывается формулой:

$v = \frac{c}{n}$

По определению, показатель преломления вакуума равен 1 ($n_{вакуум} = 1$). Для любой другой среды показатель преломления всегда больше единицы ($n > 1$). Например, для воздуха $n_{воздух} \approx 1.0003$, для воды $n_{вода} \approx 1.33$, для стекла $n_{стекло} \approx 1.5 - 1.9$.

Из формулы видно, что для того чтобы скорость $v$ была максимальной, знаменатель $n$ должен быть минимальным. Минимально возможное значение показателя преломления равно 1, что соответствует вакууму. Следовательно, свет распространяется с наибольшей скоростью именно в вакууме.

Ответ: Свет распространяется с наибольшей скоростью в вакууме.

4. Какова физическая причина уменьшения скорости света при его переходе из вакуума в среду или из среды с меньшей оптической плотностью в среду с большей?

3. Свет распространяется с наибольшей скоростью в вакууме. Эта скорость является фундаментальной физической константой, обозначаемой буквой $c$. Её точное значение составляет $c = 299 792 458$ м/с, что примерно равно $3 \cdot 10^8$ м/с. В любой материальной среде (например, в воздухе, воде, стекле) скорость распространения света $v$ всегда меньше, чем в вакууме ($v < c$).

Ответ: Наибольшая скорость распространения света достигается в вакууме.

4. Физическая причина уменьшения скорости света при переходе в оптически более плотную среду заключается во взаимодействии света (электромагнитной волны) с частицами среды (атомами, молекулами). Этот процесс можно описать следующим образом:

Электрическое поле световой волны заставляет электроны в атомах среды совершать вынужденные колебания с частотой, равной частоте световой волны. Колеблющиеся электроны, в свою очередь, становятся источниками вторичных электромагнитных волн, которые распространяются во все стороны.

Световая волна, которая распространяется в среде, является результатом сложения (суперпозиции) первичной волны и всех вторичных волн, излучаемых атомами. Из-за этого взаимодействия и интерференции результирующая волна имеет ту же частоту, что и исходная, но её фаза сдвигается. Этот сдвиг фазы эквивалентен уменьшению длины волны и, как следствие, уменьшению фазовой скорости распространения волнового фронта. Именно эту "эффективную" скорость мы и воспринимаем как скорость света в среде. Чем выше оптическая плотность среды, тем сильнее это взаимодействие и, соответственно, тем медленнее распространяется свет.

Важно отметить, что отдельные фотоны между актами поглощения и переизлучения атомами всегда движутся со скоростью $c$, но коллективный эффект взаимодействия приводит к замедлению распространения светового сигнала в целом.

Ответ: Физическая причина уменьшения скорости света в среде — это результат взаимодействия световой волны с частицами вещества, которое приводит к поглощению и переизлучению света атомами. Сложение исходной и вторичных волн приводит к замедлению скорости распространения общего волнового фронта.

5. (Предполагается, что вопрос звучит как: "Чем определяется (т. е. от чего зависит) абсолютный показатель преломления?")

Абсолютный показатель преломления среды $n$ по определению показывает, во сколько раз скорость света в вакууме $c$ больше скорости света в данной среде $v$:

$n = \frac{c}{v}$

Так как скорость света в вакууме $c$ является константой, абсолютный показатель преломления полностью определяется скоростью света $v$ в среде. Скорость же света в среде зависит от её электромагнитных свойств — диэлектрической проницаемости $\epsilon$ и магнитной проницаемости $\mu$. Для большинства прозрачных веществ (диэлектриков) магнитная проницаемость близка к единице, поэтому показатель преломления в основном определяется диэлектрической проницаемостью.

Следовательно, абсолютный показатель преломления зависит от:

• Свойств самого вещества: его химического состава, строения и плотности.
• Физических условий: температуры и давления, так как они влияют на плотность вещества.
• Частоты (или длины волны) света: зависимость показателя преломления от частоты называется дисперсией. Как правило, для большинства прозрачных веществ в видимой области спектра показатель преломления увеличивается с увеличением частоты (т. е. для синего света он больше, чем для красного).

Ответ: Абсолютный показатель преломления определяется свойствами среды (её химическим составом, плотностью, температурой) и частотой (длиной волны) самого света.

5. Чем определяются (т. е. от чего зависят) абсолютный показатель преломления среды и скорость света в ней?

Решение

Абсолютный показатель преломления среды и скорость света в ней — это взаимосвязанные величины, которые определяются как свойствами самой среды, так и характеристиками света.

Скорость света в среде

Скорость распространения света в вакууме ($c$) является максимальной и постоянной величиной. При переходе в любую материальную среду (газ, жидкость, твёрдое тело) скорость света ($v$) уменьшается. Это замедление происходит из-за взаимодействия электромагнитного поля световой волны с атомами и молекулами вещества.

Скорость света в среде напрямую зависит от её фундаментальных электромагнитных свойств:

• Электрической проницаемости среды ($\varepsilon$) — способности вещества поляризоваться под действием электрического поля.
• Магнитной проницаемости среды ($\mu$) — способности вещества намагничиваться под действием магнитного поля.

Связь между скоростью света в среде и этими характеристиками выражается формулой: $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$.

Эти фундаментальные свойства, в свою очередь, зависят от химического состава, плотности, температуры и агрегатного состояния среды.

Кроме того, скорость света в среде зависит и от характеристик самого света, а именно от его частоты $\nu$ (или длины волны $\lambda$). Эта зависимость называется дисперсией света. В большинстве прозрачных сред свет с большей частотой (например, фиолетовый) движется медленнее, чем свет с меньшей частотой (например, красный).

Ответ: Скорость света в среде определяется её физическими свойствами (электрической и магнитной проницаемостью, которые зависят от химического состава, плотности, температуры) и частотой (длиной волны) самого света.

Абсолютный показатель преломления среды

Абсолютный показатель преломления ($n$) — это физическая величина, показывающая, во сколько раз скорость света в вакууме больше, чем в данной среде. Он определяется по формуле:

$n = \frac{c}{v}$

Из этой формулы видно, что абсолютный показатель преломления обратно пропорционален скорости света в среде. Следовательно, он зависит от тех же факторов, что и скорость света:

• Свойства среды: химический состав, плотность, температура, агрегатное состояние. Чем оптически плотнее среда, тем сильнее замедляется в ней свет и тем больше её показатель преломления.
• Частота (длина волны) света: из-за явления дисперсии показатель преломления для света разного цвета различен. Например, показатель преломления стекла для фиолетового света больше, чем для красного.

Через электромагнитные характеристики среды показатель преломления выражается как $n = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}$, где $\varepsilon_r$ и $\mu_r$ — относительные электрическая и магнитная проницаемости. Для большинства оптически прозрачных материалов (диэлектриков) $\mu_r \approx 1$, поэтому $n \approx \sqrt{\varepsilon_r}$.

Ответ: Абсолютный показатель преломления среды определяется свойствами самой среды (химическим составом, плотностью, температурой) и частотой (длиной волны) света, проходящего через неё.

6*. Расскажите, что иллюстрирует рисунок 166.

Рисунок 166 иллюстрирует физическое явление, называемое полным внутренним отражением света. Это явление наблюдается при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду.

На рисунке, как правило, показан точечный источник света, расположенный в среде с большим показателем преломления (например, в воде), из которого исходят лучи света в различных направлениях к границе раздела со средой с меньшим показателем преломления (например, с воздухом).

Поведение световых лучей на границе раздела двух сред можно описать следующим образом:

• Когда луч света падает на границу раздела под углом падения $\alpha$, меньшим, чем предельный угол, он разделяется на два луча: отраженный и преломленный. Преломленный луч выходит во вторую среду, причем угол преломления $\beta$ оказывается больше угла падения $\alpha$ ($ \beta > \alpha $), так как свет переходит в оптически менее плотную среду.
• С увеличением угла падения $\alpha$ увеличивается и угол преломления $\beta$.
• При определенном угле падения, который называется предельным углом полного внутреннего отражения $\alpha_0$, угол преломления становится равным $90^\circ$. Это означает, что преломленный луч скользит вдоль границы раздела двух сред.
• Если угол падения света превышает предельный угол ($\alpha > \alpha_0$), преломление света не происходит. Весь падающий свет полностью отражается обратно в первую, более плотную, среду. Это явление и есть полное внутреннее отражение.

Таким образом, рисунок наглядно демонстрирует условия возникновения полного внутреннего отражения: свет должен распространяться из оптически более плотной среды в менее плотную, а угол падения должен быть больше предельного угла для данной пары сред.

Значение предельного угла $\alpha_0$ зависит от показателей преломления двух сред ($n_1$ и $n_2$) и определяется из закона преломления света (закона Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha_0 = n_2 \sin 90^\circ$

Отсюда, так как $\sin 90^\circ = 1$:

$\sin \alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}$ (при условии $n_1 > n_2$).

Ответ: Рисунок 166 иллюстрирует явление полного внутреннего отражения света. Он показывает, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, при углах падения, превышающих определенный предельный угол, свет не преломляется, а полностью отражается от границы раздела сред.

1. Какие из трёх величин — длина волны, частота и скорость распространения волны — изменяются при переходе волны из вакуума в алмаз?

Решение

При переходе волны из одной среды в другую некоторые её характеристики меняются, а некоторые остаются постоянными. Рассмотрим каждую из указанных величин при переходе волны из вакуума в алмаз.

Частота

Частота волны ($ν$) определяется исключительно её источником. Это фундаментальная характеристика, которая не меняется при переходе волны между средами. Физически это объясняется тем, что на границе раздела двух сред колебания должны быть непрерывными. Следовательно, количество волновых гребней, пересекающих границу в единицу времени, должно быть одинаковым с обеих сторон. Таким образом, частота волны остаётся постоянной.

Скорость распространения волны

Скорость распространения волны ($v$) напрямую зависит от свойств среды, в которой она распространяется. Для электромагнитной волны (например, света) скорость в среде определяется её абсолютным показателем преломления $n$ по формуле $v = c/n$, где $c$ — скорость света в вакууме. Показатель преломления вакуума по определению равен 1 ($n_{вак} = 1$). Показатель преломления алмаза — оптически плотной среды — значительно больше единицы ($n_{алм} \approx 2,42$). Поскольку $n_{алм} > n_{вак}$, скорость распространения волны в алмазе будет меньше, чем в вакууме. Следовательно, скорость распространения волны изменится (уменьшится).

Длина волны

Длина волны ($\lambda$) связана со скоростью её распространения ($v$) и частотой ($ν$) фундаментальным соотношением: $v = \lambda \cdot \nu$. Из этой формулы можно выразить длину волны: $\lambda = v / \nu$. Поскольку при переходе из вакуума в алмаз скорость $v$ уменьшается, а частота $\nu$ остаётся неизменной, то и длина волны $\lambda$ должна пропорционально уменьшиться. Длина волны в алмазе ($\lambda_{алм}$) будет в $n_{алм}$ раз меньше, чем в вакууме ($\lambda_{вак}$): $\lambda_{алм} = v_{алм} / \nu = (c/n_{алм}) / \nu = (c/\nu) / n_{алм} = \lambda_{вак} / n_{алм}$. Таким образом, длина волны изменится (уменьшится).

Ответ: при переходе волны из вакуума в алмаз изменятся скорость распространения волны и длина волны. Частота волны останется неизменной.

2. Используя рисунок 167, докажите, что относительный показатель преломления $n_{21}$ для данных двух сред не зависит от угла падения луча света.

Рис. 167

Дано:

Из рисунка 167 имеем два случая преломления света на границе вода-стекло.

Случай 1 (луч AB):

Угол падения: $\alpha_1 = 50^\circ$

Угол преломления: $\beta_1 = 30^\circ$

Случай 2 (луч CD):

Угол падения: $\alpha_2 = 37^\circ$

Угол преломления: $\beta_2 = 23^\circ 7'$

Найти:

Доказать, что относительный показатель преломления $n_{21}$ не зависит от угла падения $\alpha$.

Решение:

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), отношение синуса угла падения $\alpha$ к синусу угла преломления $\beta$ является постоянной величиной для двух данных сред. Эта величина называется относительным показателем преломления второй среды (стекла) относительно первой (воды):

$n_{21} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Чтобы доказать, что относительный показатель преломления $n_{21}$ не зависит от угла падения, необходимо показать, что для разных углов падения, представленных на рисунке, это отношение остается неизменным. Для этого вычислим значение $n_{21}$ для каждого из двух случаев.

1. Вычислим относительный показатель преломления для первого случая (луч AB), где угол падения $\alpha_1 = 50^\circ$, а угол преломления $\beta_1 = 30^\circ$.

$n_{21}^{(1)} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\beta_1)} = \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Подставим табличные значения синусов: $\sin(50^\circ) \approx 0.7660$, а $\sin(30^\circ) = 0.5$.

$n_{21}^{(1)} \approx \frac{0.7660}{0.5} = 1.532$

2. Вычислим относительный показатель преломления для второго случая (луч CD), где угол падения $\alpha_2 = 37^\circ$, а угол преломления $\beta_2 = 23^\circ 7'$.

Для удобства вычислений переведем угол $\beta_2$ в десятичные градусы. Зная, что $1^\circ = 60'$, получаем:

$\beta_2 = 23^\circ 7' = (23 + \frac{7}{60})^\circ \approx 23.117^\circ$

Теперь вычислим $n_{21}^{(2)}$:

$n_{21}^{(2)} = \frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\beta_2)} = \frac{\sin(37^\circ)}{\sin(23.117^\circ)}$

Подставим табличные значения синусов: $\sin(37^\circ) \approx 0.6018$, а $\sin(23.117^\circ) \approx 0.3926$.

$n_{21}^{(2)} \approx \frac{0.6018}{0.3926} \approx 1.533$

Сравнивая полученные значения $n_{21}^{(1)} \approx 1.532$ и $n_{21}^{(2)} \approx 1.533$, мы видим, что они практически равны. Небольшое расхождение можно списать на погрешность измерений, представленных на рисунке.

Поскольку отношение $\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$ для двух разных экспериментов дало практически одинаковый результат, это доказывает, что относительный показатель преломления $n_{21}$ для данных сред (воды и стекла) не зависит от угла падения луча света, что и требовалось доказать.

Ответ:

Расчет относительного показателя преломления для двух случаев, приведенных на рисунке, дает значения $n_{21}^{(1)} \approx 1.532$ и $n_{21}^{(2)} \approx 1.533$. Практическое равенство этих величин доказывает, что относительный показатель преломления для данных двух сред не зависит от угла падения света.

3. Какая из двух сред (рис. 168) обладает большей оптической плотностью? В какой из них луч света распространяется с большей скоростью? Ответ обоснуйте.

Рис. 168

Решение

Проанализируем явление преломления света, показанное на рисунке. Луч света переходит из среды 1 в среду 2, изменяя свое направление на границе раздела.

Обозначим угол падения (угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела) как $ \alpha $, а угол преломления (угол между преломленным лучом и перпендикуляром) как $ \beta $. Из рисунка видно, что луч света отклоняется от перпендикуляра, следовательно, угол преломления больше угла падения: $ \beta > \alpha $.

Связь между углами и показателями преломления сред ($ n_1 $ и $ n_2 $) описывается законом преломления света (законом Снеллиуса): $ n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta) $

Какая из двух сред (рис. 168) обладает большей оптической плотностью?

Оптическая плотность среды характеризуется ее показателем преломления: чем больше показатель преломления, тем среда оптически плотнее.

Из закона преломления выразим отношение показателей преломления: $ \frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} $

Поскольку $ \beta > \alpha $ (и оба угла находятся в диапазоне от 0° до 90°), то $ \sin(\beta) > \sin(\alpha) $. Это означает, что их отношение больше единицы: $ \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} > 1 $

Следовательно, $ \frac{n_1}{n_2} > 1 $, из чего следует, что $ n_1 > n_2 $.

Так как показатель преломления среды 1 больше, чем у среды 2, среда 1 обладает большей оптической плотностью.

Ответ: большей оптической плотностью обладает среда 1.

В какой из них луч света распространяется с большей скоростью?

Абсолютный показатель преломления среды $ n $ связан со скоростью света в этой среде $ v $ и скоростью света в вакууме $ c $ следующим соотношением: $ n = \frac{c}{v} $

Из этой формулы видно, что скорость света в среде $ v $ обратно пропорциональна показателю преломления $ n $. То есть, чем меньше показатель преломления, тем выше скорость света в среде.

Мы установили, что $ n_1 > n_2 $. Следовательно, для скоростей света $ v_1 $ и $ v_2 $ в средах 1 и 2 будет выполняться обратное неравенство: $ v_1 < v_2 $.

Таким образом, скорость света больше в среде 2.

Ответ: луч света распространяется с большей скоростью в среде 2.

4*. Используя уравнения (4) и (5), докажите, что $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$, где $n_1$ — абсолютный показатель преломления первой среды, а $n_2$ — второй.

Указание: выразите из уравнения (5) скорость $\text{v}$ света в среде через $\text{c}$ и $\text{n}$; по аналогии с полученной формулой запишите формулы для определения скоростей $v_1$ и $v_2$, входящих в уравнение (4); замените в уравнении (4) $v_1$ и $v_2$ на соответствующие им буквенные выражения и упростите полученную формулу.

Дано:

В задаче требуется использовать два уравнения, которые являются стандартными определениями для показателей преломления:

Уравнение (4) для относительного показателя преломления $n_{21}$ второй среды относительно первой: $n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$.

Уравнение (5) для абсолютного показателя преломления среды $n$: $n = \frac{c}{v}$.

Здесь $n_1$ и $n_2$ — абсолютные показатели преломления первой и второй сред, $v_1$ и $v_2$ — скорости света в этих средах, а $c$ — скорость света в вакууме.

Доказать:

$n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$

Решение:

Следуя указанию в задаче, начнем с уравнения (5), которое определяет абсолютный показатель преломления $n$ для любой среды:

$n = \frac{c}{v}$

Из этого уравнения выразим скорость света $v$ в среде:

$v = \frac{c}{n}$

Применим эту формулу по аналогии для первой и второй сред. Скорость света в первой среде ($v_1$) с абсолютным показателем преломления $n_1$ будет равна:

$v_1 = \frac{c}{n_1}$

Скорость света во второй среде ($v_2$) с абсолютным показателем преломления $n_2$ будет равна:

$v_2 = \frac{c}{n_2}$

Теперь воспользуемся уравнением (4), которое определяет относительный показатель преломления второй среды относительно первой:

$n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$

Подставим в это уравнение выражения для скоростей $v_1$ и $v_2$, которые мы получили ранее:

$n_{21} = \frac{\frac{c}{n_1}}{\frac{c}{n_2}}$

Для упрощения полученной многоэтажной дроби, мы деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:

$n_{21} = \frac{c}{n_1} \cdot \frac{n_2}{c}$

В полученном выражении скорость света в вакууме $c$ находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому ее можно сократить:

$n_{21} = \frac{\cancel{c} \cdot n_2}{n_1 \cdot \cancel{c}} = \frac{n_2}{n_1}$

Таким образом, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ: Использование уравнений $n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$ и $n = \frac{c}{v}$ и подстановка выражений для скоростей $v_1 = \frac{c}{n_1}$ и $v_2 = \frac{c}{n_2}$ в первое уравнение приводит к формуле $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$, что и требовалось доказать.