Страница 323 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

№ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЁСТКОСТИ ПРУЖИНЫ

Цель работы Определить жёсткость пружины по графику зависимо-сти $F_{\text{упр}}(x)$.

Оборудование Штатив с муфтой и лапкой, спиральная пружина, набор грузов массой 100 г каждый, линейка.

УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

1. Закрепите в лапке штатива конец пружины и линейку так, чтобы пружина была параллельна линейке.

2. Определите длину пружины в ненагруженном состоянии.

3. Подвешивая к пружине последовательно один грузик, два, три, четыре груза, определите удлинение пружины $x = l - l_0$ для каждого случая.

4. Обработка результатов измерений. Результаты прямых измерений запишите в таблицу 5 с учётом абсолютной погрешности, равной цене деления линейки. Учтите, что абсолютная погрешность удлинения пружины будет складываться из погрешности определения начальной длины пружины и погрешности определения длины пружины в нагруженном состоянии. Сила упругости пружи-ны будет равна силе тяжести груза, подвешенного к пру-жине (тело находится в равновесии под действием двух сил, значит, эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны).

Таблица 5

5. Используя результаты опытов, постройте график зависи-мости силы упругости пружины от её удлинения.
Примечание: для построения графика с учётом погреш-ности необходимо на координатной плоскости по оси $x$ отметить не точки, а отрезки, соответствующие интерва-лу возможных значений удлинения. Прямую следует провести так, чтобы она проходила через начало коорди-нат и пересекала все построенные отрезки.

6. Сделайте вывод, подтверждают ли ваши результаты справедливость закона Гука.

7. Определите жёсткость пружины.
Примечание: так как зависимость линейная, $k = \text{tg} \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона графика к оси абсцисс.

В данной работе требуется определить жёсткость пружины, выполнив ряд измерений и построив график зависимости силы упругости от удлинения. Для выполнения расчётов смоделируем проведение эксперимента с использованием гипотетических, но реалистичных данных.

Дано:

Масса одного груза, $m_1 = 100 \text{ г}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Цена деления измерительной линейки - 1 мм. Абсолютная погрешность измерения длины принимается равной цене деления, $\Delta l_{погр} = 1 \text{ мм}$.

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$\Delta l_{погр} = 0.001 \text{ м}$

Найти:

Жёсткость пружины, $k$.

Решение:

1. Закрепите в лапке штатива конец пружины и линейку так, чтобы пружина была параллельна линейке.

Пружина и линейка были закреплены в штативе согласно инструкции.

Ответ: Экспериментальная установка собрана.

2. Определите длину пружины в ненагруженном состоянии.

Длина пружины в ненагруженном (начальном) состоянии была измерена с помощью линейки. Абсолютная погрешность измерения, согласно условию, равна цене деления линейки (1 мм или 0.1 см).

$l_0 = (10.0 \pm 0.1) \text{ см}$

Ответ: Длина пружины в ненагруженном состоянии $l_0 = (10.0 \pm 0.1) \text{ см}$.

3. Подвешивая к пружине последовательно один, два, три, четыре груза, определите удлинение пружины $x = l - l_0$ для каждого случая.

К пружине последовательно подвешивались грузы, и для каждого случая измерялась новая длина пружины $l$. Затем вычислялось удлинение $x$. Результаты измерений и вычислений представлены в таблице в следующем пункте.

Ответ: Измерения длины нагруженной пружины для 1, 2, 3 и 4 грузов были произведены.

4. Обработка результатов измерений.

Результаты измерений и расчётов занесены в таблицу 5. Сила упругости $F_{упр}$, возникающая в пружине, по модулю равна силе тяжести $F_{тяж}$, действующей на грузы, так как система находится в равновесии.

$F_{упр} = F_{тяж} = n \cdot m_1 \cdot g$, где $n$ – число грузов.

Удлинение пружины рассчитывается по формуле $x = l - l_0$.

Абсолютная погрешность удлинения $\Delta x$ складывается из погрешностей измерения начальной длины $\Delta l_0$ и конечной длины $\Delta l$.

$\Delta x = \Delta l_0 + \Delta l = 0.1 \text{ см} + 0.1 \text{ см} = 0.2 \text{ см}$.

Таким образом, удлинение для первого опыта $x_1 = (2.5 \pm 0.2) \text{ см}$, для второго $x_2 = (4.9 \pm 0.2) \text{ см}$ и т.д.

Ответ: Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу.

5. Используя результаты опытов, постройте график зависимости силы упругости пружины от её удлинения.

Для построения графика переведём удлинение в систему СИ (метры):

$x_1 = 0.025 \text{ м}$; $x_2 = 0.049 \text{ м}$; $x_3 = 0.074 \text{ м}$; $x_4 = 0.098 \text{ м}$.

Погрешность удлинения $\Delta x = 0.002 \text{ м}$.

Строим график в координатах $F_{упр}(x)$. По оси ординат (Y) откладываем силу упругости $F_{упр}$ в Ньютонах, а по оси абсцисс (X) – удлинение $x$ в метрах.

На график наносим экспериментальные точки: (0.025; 0.98), (0.049; 1.96), (0.074; 2.94), (0.098; 3.92).

Для каждой точки по оси X откладываем отрезок погрешности, равный $\pm \Delta x$. Например, для первой точки это будет отрезок от $0.023 \text{ м}$ до $0.027 \text{ м}$.

Далее проводим прямую линию так, чтобы она проходила через начало координат (точка (0;0), так как при нулевой силе удлинение равно нулю) и пересекала все отрезки погрешностей. Эта прямая является графиком зависимости $F_{упр}(x)$.

Ответ: Построен график зависимости силы упругости от удлинения. График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и экспериментальные точки с учётом их погрешностей.

6. Сделайте вывод, подтверждают ли ваши результаты справедливость закона Гука.

Закон Гука утверждает, что сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна удлинению: $F_{упр} = kx$. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

Поскольку построенный по результатам эксперимента график $F_{упр}(x)$ является прямой линией, проходящей через начало координат, можно сделать вывод, что результаты эксперимента подтверждают справедливость закона Гука в исследованном диапазоне деформаций.

Ответ: Да, результаты подтверждают справедливость закона Гука, так как зависимость силы упругости от удлинения является линейной.

7. Определите жёсткость пружины.

Жёсткость пружины $k$ является коэффициентом пропорциональности в законе Гука и численно равна тангенсу угла наклона графика $F_{упр}(x)$ к оси абсцисс (удлинения), то есть, его градиенту.

$k = \text{tg} \, \alpha = \frac{\Delta F_{упр}}{\Delta x}$

Для расчёта возьмём две произвольные точки на построенной усредняющей прямой (желательно подальше друг от друга для большей точности). Возьмём начальную точку A(0; 0) и конечную точку B, соответствующую удлинению $x_B = 0.09 \text{ м}$. По графику находим соответствующую этой точке силу $F_{упр, B} \approx 3.56 \text{ Н}$.

Теперь вычислим жёсткость:

$k = \frac{F_{упр, B} - F_{упр, A}}{x_B - x_A} = \frac{3.56 \text{ Н} - 0 \text{ Н}}{0.09 \text{ м} - 0 \text{ м}} \approx 39.6 \text{ Н/м}$.

Можно также рассчитать жёсткость для каждого измерения и найти среднее значение:

$k_1 = \frac{0.98}{0.025} = 39.2 \text{ Н/м}$

$k_2 = \frac{1.96}{0.049} = 40.0 \text{ Н/м}$

$k_3 = \frac{2.94}{0.074} \approx 39.7 \text{ Н/м}$

$k_4 = \frac{3.92}{0.098} = 40.0 \text{ Н/м}$

Среднее значение жёсткости:

$k_{ср} = \frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4} = \frac{39.2+40.0+39.7+40.0}{4} = \frac{158.9}{4} \approx 39.7 \text{ Н/м}$.

Оба способа дают схожий результат. Округлим до целого числа.

Ответ: Жёсткость пружины $k \approx 40 \text{ Н/м}$.