Страница 324 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

№ 4 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ НИТЯНОГО МАЯТНИКА ОТ ЕГО ДЛИНЫ++

Цель работы Выяснить, как зависят период и частота свободных колебаний нитяного маятника от его длины.

Оборудование Штатив с муфтой и лапкой, шарик с прикреплённой к нему нитью длиной 130 см, протянутой сквозь кусочек резины¹, часы с секундной стрелкой или секундомер сотового телефона.

¹ Кусочек резины (в данном случае ластик) используется для того, чтобы нить не выскальзывала из лапки штатива и чтобы можно было быстро и точно установить нужную длину маятника. Нить протягивается сквозь резину с помощью иголки.

УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

1. Соберите установку по рисунку 219. При этом длина маятника должна быть равна 5 см, как указано в таблице 6 для первого опыта. Длину маятника измеряйте от точки подвеса до середины шарика.

Рис. 219

2. Для проведения первого опыта отклоните шарик от положения равновесия на 1—2 см (амплитуда колебаний) и отпустите. Измерьте промежуток времени t, за который маятник совершит 30 полных колебаний.

3. Обработка результатов измерений. Результаты прямых измерений с учётом абсолютной погрешности, равной цене деления прибора (линейки и секундомера²), и вычислений записывайте в таблицу 6.

² Погрешность электронного секундомера можно считать равной единице младшего разряда на дисплее. Однако имейте в виду, что точность измерения ограничена временем реакции человека, равным примерно 0,2 с.

Таблица 6

№ опыта: 1 2 3 4 5

Физическая величина:

l, см: 5 20 45 80 125

N: 30 30 30 30 30

t, с

T, с

v, Гц

4. Проведите остальные четыре опыта так же, как и первый. При этом длину l маятника каждый раз устанавливайте в соответствии с её значением, указанным в таблице 6 для данного опыта.

5. Для каждого опыта вычислите значение периода T колебаний маятника.

Указание: при выполнении п. 4 и 5 штатив следует ставить на край стола, чтобы колебания маятника происходили над полом.

6. Для каждого опыта рассчитайте значения частоты $\nu$ колебаний маятника по формуле: $v = \frac{1}{T}$ или $v = \frac{N}{t}$.

7. Сделайте выводы о том, как зависят период и частота свободных колебаний маятника от его длины.

Дополнительное задание

Цель задания Выяснить, какая математическая зависимость существует между длиной маятника и периодом его колебаний.

УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

1. Пользуясь данными таблицы 6, вычислите отношения периодов и длин (при вычислении отношений периодов округляйте результаты до целых чисел).

2. Обработка результатов измерений. Результаты вычислений запишите в таблицу 7.

Таблица 7

$\frac{T_2}{T_1}=$ $\frac{T_3}{T_1}=$ $\frac{T_4}{T_1}=$ $\frac{T_5}{T_1}=$

$\frac{l_2}{l_1}=$ $\frac{l_3}{l_1}=$ $\frac{l_4}{l_1}=$ $\frac{l_5}{l_1}=$

3. Сравните результаты всех четырёх столбцов таблицы 7 и постарайтесь найти в них общую закономерность. На основании этого выберите из пяти приведённых ниже равенств те, которые верно отражают зависимость между периодом колебаний маятника T и его длиной l:

1) $\frac{T_k}{T_1} = \frac{l_k}{l_1}$; 2) $\frac{T_k}{T_1} = \frac{l_1}{l_k}$; 3) $\frac{T_k}{T_1} = \sqrt{\frac{l_k}{l_1}}$; 4) $\sqrt{\frac{T_k}{T_1}} = \frac{l_k}{l_1}$; 5) $(\frac{T_k}{T_1})^2 = \frac{l_k}{l_1}$,

где k может принимать следующие значения: 2, 3, 4, 5;

например, $(\frac{T_3}{T_1})^2 = \frac{l_3}{l_1}$.

Цель работы: Выяснить, как зависят период и частота свободных колебаний нитяного маятника от его длины.

Дано:

$l_1 = 5$ см

$l_2 = 20$ см

$l_3 = 45$ см

$l_4 = 80$ см

$l_5 = 125$ см

$N = 30$ (число колебаний в каждом опыте)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:

$l_1 = 0.05$ м

$l_2 = 0.20$ м

$l_3 = 0.45$ м

$l_4 = 0.80$ м

$l_5 = 1.25$ м

Найти:

$t_k, T_k, \nu_k$ для каждого опыта ($k=1...5$);

Зависимость периода $T$ и частоты $\nu$ от длины маятника $l$.

Решение

Поскольку данная задача является решением лабораторной работы без проведения реального эксперимента, мы рассчитаем теоретические значения времени $t$, которое потребовалось бы для совершения 30 колебаний. Для этого сначала определим теоретический период колебаний $T$ для каждой длины маятника $l$ по формуле периода математического маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Затем найдем время $t$ по формуле $t = N \cdot T$. После этого, согласно указаниям, рассчитаем период как $T = t/N$ и частоту как $\nu = 1/T$. Результаты вычислений занесем в таблицу 6.

3. Обработка результатов измерений.

Пример расчета для опыта №1 ($l_1 = 0.05$ м):

Теоретический период: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0.05 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 0.449$ с

Время 30 колебаний: $t_1 = 30 \cdot 0.449 \text{ с} \approx 13.5$ с

Период из "экспериментальных" данных: $T_1 = \frac{13.5 \text{ с}}{30} = 0.45$ с

Частота: $\nu_1 = \frac{1}{0.45 \text{ с}} \approx 2.22$ Гц

Аналогичные расчеты проводятся для остальных опытов. Все результаты сведены в таблицу 6.

Таблица 6

5. Для каждого опыта вычислите значение периода Т колебаний маятника.

6. Для каждого опыта рассчитайте значения частоты v колебаний маятника...

Значения периода $T$, вычисленные по формуле $T = t/N$, и частоты $\nu$, вычисленные по формуле $\nu=1/T$, приведены в строках 4 и 5 таблицы 6.

7. Сделайте выводы о том, как зависят период и частота свободных колебаний маятника от его длины.

На основе данных, полученных в ходе расчетов и занесенных в таблицу 6, можно сделать следующие выводы:

1. При увеличении длины нити маятника $l$ период его свободных колебаний $T$ увеличивается.
2. При увеличении длины нити маятника $l$ частота его свободных колебаний $\nu$ уменьшается.
3. Зависимость не является линейной. Например, при увеличении длины в 4 раза (с 5 см до 20 см), период увеличился в 2 раза (с 0.45 с до 0.90 с). Это говорит о том, что период колебаний пропорционален квадратному корню из длины маятника ($T \propto \sqrt{l}$). Соответственно, частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины ($ \nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$).

Ответ: С увеличением длины нитяного маятника период его колебаний возрастает, а частота убывает. Период пропорционален квадратному корню из длины ($T \propto \sqrt{l}$), а частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины ($ \nu \propto 1/\sqrt{l}$).

Дополнительное задание

Цель задания: Выяснить, какая математическая зависимость существует между длиной маятника и периодом его колебаний.

УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

1. Пользуясь данными таблицы 6, вычислите отношения периодов и длин (при вычислении отношений периодов округляйте результаты до целых чисел).

2. Обработка результатов измерений. Результаты вычислений запишите в таблицу 7.

Выполним расчеты, используя данные из Таблицы 6, и занесем их в Таблицу 7. За основу берем данные первого опыта: $l_1=5$ см, $T_1=0.45$ с.

Для k=2: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{0.90}{0.45} = 2$; $\frac{l_2}{l_1} = \frac{20}{5} = 4$.

Для k=3: $\frac{T_3}{T_1} = \frac{1.35}{0.45} = 3$; $\frac{l_3}{l_1} = \frac{45}{5} = 9$.

Для k=4: $\frac{T_4}{T_1} = \frac{1.80}{0.45} = 4$; $\frac{l_4}{l_1} = \frac{80}{5} = 16$.

Для k=5: $\frac{T_5}{T_1} = \frac{2.24}{0.45} \approx 4.98 \approx 5$; $\frac{l_5}{l_1} = \frac{125}{5} = 25$.

Таблица 7

3. Сравните результаты всех четырёх столбцов таблицы 7 и постарайтесь найти в них общую закономерность. На основании этого выберите из приведённых ниже равенств те, которые верно отражают зависимость между периодом колебаний маятника T и его длиной l:

Анализируя данные в таблице 7, можно заметить, что отношение длин маятников равно квадрату отношения их периодов. Например, для второго опыта отношение длин равно 4, а отношение периодов равно 2, при этом $2^2=4$. Для третьего опыта: $3^2=9$. Для четвертого: $4^2=16$. Для пятого: $5^2=25$.

Эта закономерность может быть записана в виде:

$ \left(\frac{T_k}{T_1}\right)^2 = \frac{l_k}{l_1} $

Это соответствует равенству под номером 5. Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим:

$ \frac{T_k}{T_1} = \sqrt{\frac{l_k}{l_1}} $

Это соответствует равенству под номером 3. Таким образом, оба равенства, 3 и 5, верно описывают зависимость периода колебаний маятника от его длины.

Ответ: Верно отражают зависимость равенства 3) $\frac{T_k}{T_1} = \sqrt{\frac{l_k}{l_1}}$ и 5) $\left(\frac{T_k}{T_1}\right)^2 = \frac{l_k}{l_1}$.