Номер 3, страница 91 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Определите коэффициент трения покрытия транспортерной линии с углом наклона $30^\circ$, предназначенной для перемещения грузов массой 20 кг в картонной упаковке. Смогут ли удержаться на этой поверхности коробки массой 30 кг?

Дано:

Угол наклона транспортерной линии, $\alpha = 30^\circ$
Масса первого груза, $m_1 = 20$ кг
Масса второго груза, $m_2 = 30$ кг
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

$\mu$ - коэффициент трения.
Смогут ли удержаться на поверхности коробки массой $m_2$?

Решение:

Задача состоит из двух частей: определение коэффициента трения и проверка устойчивости коробки другой массы.

Рассмотрим силы, действующие на груз, находящийся на наклонной плоскости. Это сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($N$) и сила трения ($F_{тр}$). Силу тяжести можно разложить на две составляющие:

1. Скатывающая сила, параллельная наклонной плоскости: $F_{скат} = mg \sin\alpha$.

2. Сила, прижимающая тело к плоскости, перпендикулярная ей: $F_{приж} = mg \cos\alpha$.

Сила нормальной реакции опоры уравновешивает прижимающую силу: $N = F_{приж} = mg \cos\alpha$.

Фраза "предназначенной для перемещения грузов" в контексте такой задачи обычно означает, что система находится в состоянии равновесия или равномерного движения. В этом предельном случае сила трения равна скатывающей силе. Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Приравняем скатывающую силу и силу трения, чтобы найти коэффициент трения $\mu$: $F_{скат} = F_{тр}$

$mg \sin\alpha = \mu mg \cos\alpha$

Как видно из уравнения, масса груза ($m$) сокращается. Это означает, что условие равновесия не зависит от массы. Коэффициент трения определяется только углом наклона:

$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$\mu = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

Теперь ответим на второй вопрос: смогут ли удержаться на этой поверхности коробки массой 30 кг?

Условие, при котором тело удерживается на наклонной плоскости, заключается в том, что максимальная сила трения покоя должна быть больше или равна скатывающей силе:

$F_{тр.макс} \ge F_{скат}$

$\mu N \ge mg \sin\alpha$

Подставив $N = mg \cos\alpha$, получаем:

$\mu mg \cos\alpha \ge mg \sin\alpha$

Разделив обе части на $mg \cos\alpha$ (положительная величина), получаем условие удержания груза, которое, как и ранее, не зависит от массы:

$\mu \ge \tan\alpha$

Мы уже определили, что для данной транспортной линии $\mu = \tan\alpha$. Подставив это в условие, получаем:

$\tan\alpha \ge \tan\alpha$

Это равенство выполняется. Это означает, что коробка массой 30 кг (как и любая другая) будет находиться в состоянии предельного равновесия — она будет удерживаться на поверхности, но любая малейшая дополнительная сила или вибрация может заставить ее соскользнуть.

Ответ: Коэффициент трения покрытия транспортерной линии равен $\mu = \tan(30^\circ) \approx 0.577$. Коробки массой 30 кг смогут удержаться на этой поверхности (находясь в состоянии предельного равновесия).