Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

16 (2)

Произведение возрастов братьев Маржан равно 1664. Младший из братьев вдвое младше старшего. Сколько у Маржан братьев?

Пусть $n$ – количество братьев, а их возрасты в порядке возрастания – $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Согласно условиям задачи, произведение возрастов всех братьев равно 1664, а возраст младшего брата ($a_1$) в два раза меньше возраста старшего ($a_n$). Запишем это в виде системы уравнений:
$a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1664$
$a_n = 2a_1$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы связать произведение возрастов с возрастом младшего брата:
$a_1 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) \cdot (2a_1) = 1664$
$2a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) = 1664$

Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) = 832$

Для дальнейшего анализа разложим число 832 на простые множители:
$832 = 8 \cdot 104 = 8 \cdot 8 \cdot 13 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 13 = 2^6 \cdot 13$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:
$a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1}) = 2^6 \cdot 13$

Поскольку возраст $a_1$ – это целое число, то $a_1^2$ должен быть делителем числа 832, который является полным квадратом. Из разложения $2^6 \cdot 13$ видно, что единственным простым множителем в нечетной степени является 13. Это означает, что $a_1$ не может быть кратным 13. Следовательно, $a_1^2$ может состоять только из четных степеней множителя 2. Возможные значения для $a_1^2$: $2^0=1$, $2^2=4$, $2^4=16$, $2^6=64$.

Это дает нам следующие возможные значения для возраста младшего брата $a_1$: $1, 2, 4, 8$. Проверим каждый вариант по очереди.

1. Если $a_1 = 1$, то $a_n = 2 \cdot 1 = 2$. Возрасты остальных братьев должны быть целыми числами строго между 1 и 2, что невозможно.

2. Если $a_1 = 2$, то $a_n = 2 \cdot 2 = 4$. Произведение возрастов средних братьев равно $832 / a_1^2 = 832 / 4 = 208$. Их возрасты должны быть строго между 2 и 4, то есть 3. Но $3 \neq 208$. Вариант не подходит.

3. Если $a_1 = 4$, то $a_n = 2 \cdot 4 = 8$. Произведение возрастов средних братьев равно $832 / a_1^2 = 832 / 16 = 52$. Их возрасты должны быть строго между 4 и 8, т.е. 5, 6, 7. Никакое произведение этих чисел не равно 52. Вариант не подходит.

4. Если $a_1 = 8$, то $a_n = 2 \cdot 8 = 16$. Произведение возрастов средних братьев равно $832 / a_1^2 = 832 / 64 = 13$. Их возрасты должны быть строго между 8 и 16. Так как 13 — простое число, то может быть только один средний брат, и его возраст — 13 лет. Это значение удовлетворяет условию $8 < 13 < 16$.

Таким образом, мы нашли единственно верное решение: у Маржан трое братьев, их возрасты 8, 13 и 16 лет.

Проверка:
- Младший брат (8 лет) вдвое младше старшего (16 лет): $8 = 16 / 2$. Верно.
- Произведение возрастов: $8 \cdot 13 \cdot 16 = 104 \cdot 16 = 1664$. Верно.

Сколько у Маржан братьев?
Исходя из решения, у Маржан трое братьев.
Ответ: 3

17 (2) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 12, а сумма первых шести членов равна -84. Найдите третий член прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, $S_n$, вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$).

Согласно условию задачи, сумма первых трех членов $S_3 = 12$, а сумма первых шести членов $S_6 = -84$. Запишем это в виде системы уравнений:

$S_3 = \frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1} = 12$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = -84$

Преобразуем выражение для $S_6$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = q^3$ и $b = 1$:

$S_6 = \frac{b_1((q^3)^2 - 1^2)}{q - 1} = \frac{b_1(q^3 - 1)(q^3 + 1)}{q - 1}$

Мы можем заметить, что часть этого выражения представляет собой $S_3$:

$S_6 = \left(\frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1}\right) \cdot (q^3 + 1) = S_3 \cdot (q^3 + 1)$

Подставим известные значения $S_3$ и $S_6$ в полученное равенство:

$-84 = 12 \cdot (q^3 + 1)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $q$:

$q^3 + 1 = \frac{-84}{12}$

$q^3 + 1 = -7$

$q^3 = -7 - 1$

$q^3 = -8$

$q = \sqrt[3]{-8} = -2$

Зная знаменатель прогрессии $q$, мы можем найти первый член $b_1$, используя уравнение для $S_3$:

$\frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1} = 12$

Подставим значения $q = -2$ и $q^3 = -8$:

$\frac{b_1(-8 - 1)}{-2 - 1} = 12$

$\frac{b_1(-9)}{-3} = 12$

$3b_1 = 12$

$b_1 = 4$

Цель задачи — найти третий член прогрессии, $b_3$. Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=3$ имеем:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим найденные значения $b_1 = 4$ и $q = -2$:

$b_3 = 4 \cdot (-2)^2 = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: 16

18 Решите неравенства:

а)(2) $|x^2+2x-4|>4$;

б)(2) $|2x+1|+|3x+2|\leq5x+3$;

в)(2) $||x^3-x-1|-5|>x^3+x+8$.

а)

Неравенство $|x^2+2x-4|>4$ является неравенством вида $|f(x)| > a$, где $a>0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Рассмотрим два случая:

1) $x^2+2x-4 > 4$
$x^2+2x-8 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-8=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1=-4$ и $x_2=2$.
Парабола $y=x^2+2x-8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2+2x-8 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение для этого случая: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

2) $x^2+2x-4 < -4$
$x^2+2x < 0$
$x(x+2) < 0$
Корнями уравнения $x(x+2)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=-2$.
Парабола $y=x^2+2x$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x+2) < 0$ выполняется при значениях $x$ внутри интервала между корнями.
Решение для этого случая: $x \in (-2; 0)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

б)

Для решения неравенства $|2x+1|+|3x+2|\le5x+3$ применим метод интервалов.
Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:
$2x+1=0 \implies x = -1/2$
$3x+2=0 \implies x = -2/3$
Отметим эти точки на числовой оси: $-2/3 \approx -0.67$, $-1/2 = -0.5$. Они разбивают ось на три интервала.

1) При $x < -2/3$: оба подмодульных выражения отрицательны.
$-(2x+1) - (3x+2) \le 5x+3$
$-2x-1-3x-2 \le 5x+3$
$-5x-3 \le 5x+3$
$-6 \le 10x$
$x \ge -0.6$
Ищем пересечение решения $x \ge -0.6$ с условием интервала $x < -2/3$ (т.е. $x < -0.666...$). Пересечение пусто, решений в этом интервале нет.

2) При $-2/3 \le x < -1/2$: выражение $2x+1$ отрицательно, а $3x+2$ неотрицательно.
$-(2x+1) + (3x+2) \le 5x+3$
$-2x-1+3x+2 \le 5x+3$
$x+1 \le 5x+3$
$-2 \le 4x$
$x \ge -1/2$
Ищем пересечение решения $x \ge -1/2$ с условием интервала $[-2/3, -1/2)$. Пересечение пусто.

3) При $x \ge -1/2$: оба подмодульных выражения неотрицательны.
$(2x+1) + (3x+2) \le 5x+3$
$5x+3 \le 5x+3$
$0 \le 0$
Это верное тождество, значит, неравенство выполняется для всех $x$ из рассматриваемого интервала, то есть для $x \ge -1/2$.

Объединяя решения, полученные на всех интервалах, получаем итоговый ответ.
Ответ: $[-1/2; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $||x^3-x-1|-5| > x^3+x+8$.
Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух систем: $A > B$ или $A < -B$.
В нашем случае $A = |x^3-x-1|-5$ и $B = x^3+x+8$.

1) $|x^3-x-1|-5 > x^3+x+8$
$|x^3-x-1| > x^3+x+13$
Это неравенство, в свою очередь, равносильно совокупности:
а) $x^3-x-1 > x^3+x+13 \implies -x-1 > x+13 \implies -2x > 14 \implies x < -7$.
б) $x^3-x-1 < -(x^3+x+13) \implies x^3-x-1 < -x^3-x-13 \implies 2x^3 < -12 \implies x^3 < -6 \implies x < -\sqrt[3]{6}$.
Объединяя решения а) и б), получаем $x < -\sqrt[3]{6}$, так как $(-\infty; -7) \subset (-\infty; -\sqrt[3]{6})$.

2) $|x^3-x-1|-5 < -(x^3+x+8)$
$|x^3-x-1| < -x^3-x-3$
Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-(-x^3-x-3) < x^3-x-1 < -x^3-x-3$
Это эквивалентно системе из двух неравенств:
а) $x^3+x+3 < x^3-x-1 \implies x+3 < -x-1 \implies 2x < -4 \implies x < -2$.
б) $x^3-x-1 < -x^3-x-3 \implies 2x^3 < -2 \implies x^3 < -1 \implies x < -1$.
Решением системы является пересечение решений, то есть $x < -2$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений из пунктов 1 и 2:
$x < -\sqrt[3]{6}$ или $x < -2$.
Сравним числа $-\sqrt[3]{6}$ и $-2 = -\sqrt[3]{8}$. Поскольку $6 < 8$, то $\sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$, а значит $-\sqrt[3]{6} > -\sqrt[3]{8}$.
Таким образом, интервал $(-\infty; -\sqrt[3]{6})$ включает в себя интервал $(-\infty; -2)$, и их объединением будет больший интервал.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt[3]{6})$.

19 (2) В комнате 3 светильника, каждый из которых можно включить или выключить, независимо от остальных. Сколько существует способов для освещения комнаты в ночное время?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

В задаче даны 3 светильника. Каждый из них может находиться в одном из двух состояний: включен или выключен. Поскольку состояние каждого светильника не зависит от состояний других, мы можем определить общее количество всех возможных комбинаций.

Для первого светильника есть 2 варианта состояния.Для второго светильника также 2 варианта.Для третьего светильника — 2 варианта.

Чтобы найти общее число всех возможных комбинаций состояний светильников, нужно перемножить количество вариантов для каждого из них. Это является применением основного правила комбинаторики (правила умножения).

Общее количество комбинаций = $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Эти 8 комбинаций включают в себя абсолютно все возможные حالات, в том числе и ту, когда все три светильника выключены.

Вопрос задачи звучит как: "Сколько существует способов для освещения комнаты в ночное время?". Это условие подразумевает, что хотя бы один светильник должен быть включен. Если все светильники выключены, комната не освещена. Такой случай только один.

Следовательно, из общего числа комбинаций нужно вычесть одну комбинацию, не удовлетворяющую условию освещения, — когда все светильники выключены.

Количество способов освещения = (Общее число комбинаций) – (Число комбинаций, когда света нет) = $8 - 1 = 7$.

Ответ: 7