Страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

15. (3) В арифметической прогрессии $20$ членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна $250$, а на нечетных - $220$. Найдите $a_{10}$ прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$, где $n$ — номер члена прогрессии, $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, в прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на нечетных местах (1-й, 3-й, ..., 19-й), равна 220. Сумма членов, стоящих на четных местах (2-й, 4-й, ..., 20-й), равна 250.

Запишем эти условия в виде формул:$S_{неч} = a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_{19} = 220$$S_{чет} = a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{20} = 250$

В каждой из этих сумм по 10 слагаемых.

Найдем разность прогрессии $d$. Для этого вычтем из суммы членов на четных местах сумму членов на нечетных местах:$S_{чет} - S_{неч} = (a_2 + a_4 + ... + a_{20}) - (a_1 + a_3 + ... + a_{19})$

Сгруппируем слагаемые попарно:$S_{чет} - S_{неч} = (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + ... + (a_{20} - a_{19})$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом равна $d$. Таким образом, каждая разность в скобках равна $d$:$a_2 - a_1 = d$$a_4 - a_3 = d$...$a_{20} - a_{19} = d$

Всего таких пар 10, поэтому их сумма равна $10d$.$S_{чет} - S_{неч} = 10d$

Подставим известные значения сумм:$250 - 220 = 10d$$30 = 10d$$d = \frac{30}{10} = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Члены, стоящие на нечетных местах ($a_1, a_3, ..., a_{19}$), сами образуют арифметическую прогрессию, в которой 10 членов. Сумма этой прогрессии находится по формуле $S_k = \frac{b_1 + b_k}{2} \cdot k$. В данном случае первый член этой новой прогрессии $b_1 = a_1$, последний $b_{10} = a_{19}$, а количество членов $k=10$.$S_{неч} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 10 = 5(a_1 + a_{19})$$220 = 5(a_1 + a_{19})$$a_1 + a_{19} = \frac{220}{5} = 44$

Выразим $a_{19}$ через $a_1$ и $d$ по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:$a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d$

Подставим это выражение в полученное ранее равенство:$a_1 + (a_1 + 18d) = 44$$2a_1 + 18d = 44$

Мы уже нашли, что $d=3$. Подставим это значение:$2a_1 + 18 \cdot 3 = 44$$2a_1 + 54 = 44$$2a_1 = 44 - 54$$2a_1 = -10$$a_1 = -5$

Теперь, зная первый член $a_1 = -5$ и разность $d = 3$, мы можем найти десятый член прогрессии $a_{10}$:$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$$a_{10} = -5 + 9 \cdot 3$$a_{10} = -5 + 27$$a_{10} = 22$

Ответ: 22

16. (3) При анализе семейного бюджета оказалось, что 40% необходимых расходов приходится на приобретение продуктов питания. Насколько процентов сократятся расходы данной семьи, если сумма на покупку продуктов уменьшится на 20%?

А) 12% B) 10% C) 8% D) 6% E) 4%

Пусть $X$ — это общая сумма необходимых расходов семьи.

Согласно условию, расходы на приобретение продуктов питания составляют 40% от общих расходов. В виде доли это можно записать как:

Расходы на продукты = $0.4 \times X$

Остальные расходы составляют, соответственно, $100\% - 40\% = 60\%$ от общих расходов, или $0.6 \times X$.

Сумма, выделяемая на покупку продуктов, уменьшилась на 20%. Это сокращение относится только к той части бюджета, которая тратится на продукты. Найдем, какую абсолютную величину составляет это сокращение от общих расходов $X$.

Величина сокращения = $20\% \text{ от } (\text{Расходы на продукты})$

Подставим выражение для расходов на продукты:

Величина сокращения = $20\% \text{ от } (0.4 \times X)$

Чтобы найти, какую долю от общих расходов $X$ составляет это сокращение, перемножим доли, представив проценты в виде десятичных дробей ($20\% = 0.2$ и $40\% = 0.4$):

Доля сокращения от общих расходов = $0.2 \times 0.4 = 0.08$

Это означает, что общие расходы семьи $X$ сократились на величину $0.08 \times X$. Чтобы выразить эту долю в процентах, необходимо умножить ее на 100:

Процент сокращения общих расходов = $0.08 \times 100\% = 8\%$

Таким образом, общие расходы данной семьи сократятся на 8%.

Ответ: C) 8%

17. Решите неравенства:

a) (1) $|4x+1|<3$;

б) (3) $|x^2+2x-3|<|6x-6|$;

в) (3) $\frac{|2x+7|-8x-4}{x+5-|5x-7|} \le 0$.

а)Исходное неравенство: $|4x+1| < 3$.
Это неравенство вида $|A| < B$, где $B > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
Применим это правило:$-3 < 4x+1 < 3$
Теперь решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 1 из всех его частей:$-3 - 1 < 4x < 3 - 1$
$-4 < 4x < 2$
Затем разделим все части на 4:$\frac{-4}{4} < x < \frac{2}{4}$
$-1 < x < \frac{1}{2}$
Таким образом, решением является интервал от -1 до 1/2, не включая концы.
Ответ: $x \in (-1; \frac{1}{2})$.

б)Исходное неравенство: $|x^2+2x-3| < |6x-6|$.
Сначала разложим подмодульные выражения на множители:$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$
$6x-6 = 6(x-1)$
Неравенство принимает вид:$|(x+3)(x-1)| < |6(x-1)|$
Используя свойство модуля $|ab|=|a||b|$, получаем:$|x+3| \cdot |x-1| < 6|x-1|$
Перенесем все члены в левую часть:$|x+3| \cdot |x-1| - 6|x-1| < 0$
Вынесем общий множитель $|x-1|$ за скобки:$|x-1|(|x+3|-6) < 0$
Рассмотрим два случая:
1. Если $x=1$, то левая часть неравенства равна 0. Неравенство $0 < 0$ является ложным, следовательно, $x=1$ не является решением.
2. Если $x \neq 1$, то $|x-1| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|x-1|$, при этом знак неравенства не изменится:$|x+3|-6 < 0$
$|x+3| < 6$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:$-6 < x+3 < 6$
Вычтем 3 из всех частей:$-6 - 3 < x < 6 - 3$
$-9 < x < 3$
Объединяя результат с условием $x \neq 1$, мы должны исключить точку $x=1$ из полученного интервала. Это разбивает интервал на два.
Ответ: $x \in (-9; 1) \cup (1; 3)$.

в)Исходное неравенство: $\frac{|2x+7|-3x-4}{x+5-|5x-7|} \leq 0$.
Решим это неравенство методом интервалов, анализируя знаки числителя и знаменателя.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив нули знаменателя: $x+5-|5x-7| \neq 0$.
Найдем нули числителя и знаменателя.
1. Нули числителя: $|2x+7|-3x-4 = 0 \implies |2x+7| = 3x+4$.Решение возможно при $3x+4 \geq 0$, т.е. $x \geq -4/3$. Возведем обе части в квадрат:$(2x+7)^2 = (3x+4)^2 \implies 4x^2+28x+49=9x^2+24x+16 \implies 5x^2-4x-33=0$.Корни этого уравнения: $x_1=3$ (удовлетворяет $x \geq -4/3$) и $x_2=-2.2$ (не удовлетворяет, посторонний корень).Единственный нуль числителя: $x=3$.
2. Нули знаменателя: $x+5-|5x-7| = 0 \implies x+5 = |5x-7|$.Решение возможно при $x+5 \geq 0$, т.е. $x \geq -5$. Возведем обе части в квадрат:$(x+5)^2 = (5x-7)^2 \implies x^2+10x+25=25x^2-70x+49 \implies 24x^2-80x+24=0 \implies 3x^2-10x+3=0$.Корни: $x_1=3$ и $x_2=1/3$. Оба удовлетворяют условию $x \geq -5$.Нули знаменателя: $x=3$ и $x=1/3$. Эти точки не входят в ОДЗ.
3. Раскроем модули и решим неравенство на промежутках, определенных нулями подмодульных выражений ($x=-3.5$ и $x=1.4$) и нулями знаменателя ($x=1/3$).
Пусть $f(x) = \frac{|2x+7|-3x-4}{x+5-|5x-7|}$.
- Если $x < 1/3$: знаменатель $6x-2 < 0$. Неравенство $\frac{|2x+7|-3x-4}{6x-2} \leq 0$ равносильно $|2x+7|-3x-4 \geq 0$. - При $x \in [-3.5, 1/3)$: $|2x+7|=2x+7$, неравенство $2x+7-3x-4 \geq 0 \implies -x+3 \geq 0 \implies x \leq 3$. Решением является весь интервал $[-3.5, 1/3)$. - При $x < -3.5$: $|2x+7|=-(2x+7)$, неравенство $-(2x+7)-3x-4 \geq 0 \implies -5x-11 \geq 0 \implies x \leq -2.2$. Решением является весь интервал $(-\infty, -3.5)$.Объединяя эти два случая, получаем решение $(-\infty, 1/3)$.
- Если $x > 1/3$ (и $x \neq 3$): - При $x \in (1/3, 1.4)$: знаменатель $6x-2 > 0$. Неравенство равносильно $|2x+7|-3x-4 \leq 0$. На этом интервале $x>-3.5$, поэтому $|2x+7|=2x+7$. Получаем $2x+7-3x-4 \leq 0 \implies -x+3 \leq 0 \implies x \geq 3$. Пересечение $(1/3, 1.4)$ с $[3, \infty)$ пусто. Решений нет. - При $x \geq 1.4$ (и $x \neq 3$): $|2x+7|=2x+7$ и $|5x-7|=5x-7$. Дробь становится $\frac{(2x+7)-3x-4}{x+5-(5x-7)} = \frac{-x+3}{-4x+12} = \frac{-(x-3)}{-4(x-3)} = \frac{1}{4}$. Неравенство $1/4 \leq 0$ ложно. Решений нет.Точка $x=3$ не является решением, так как в ней знаменатель обращается в ноль.Точка $x=1/3$ также является нулем знаменателя и не входит в решение.Неравенство $\leq 0$ выполняется, когда дробь отрицательна. Это происходит на интервале $(-\infty, 1/3)$. Точек, где дробь равна 0, нет (в точке $x=3$ дробь не определена).
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$.