Номер 17, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. Решите неравенства:

a) (1) $|4x+1|<3$;

б) (3) $|x^2+2x-3|<|6x-6|$;

в) (3) $\frac{|2x+7|-8x-4}{x+5-|5x-7|} \le 0$.

а)Исходное неравенство: $|4x+1| < 3$.
Это неравенство вида $|A| < B$, где $B > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
Применим это правило:$-3 < 4x+1 < 3$
Теперь решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 1 из всех его частей:$-3 - 1 < 4x < 3 - 1$
$-4 < 4x < 2$
Затем разделим все части на 4:$\frac{-4}{4} < x < \frac{2}{4}$
$-1 < x < \frac{1}{2}$
Таким образом, решением является интервал от -1 до 1/2, не включая концы.
Ответ: $x \in (-1; \frac{1}{2})$.

б)Исходное неравенство: $|x^2+2x-3| < |6x-6|$.
Сначала разложим подмодульные выражения на множители:$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$
$6x-6 = 6(x-1)$
Неравенство принимает вид:$|(x+3)(x-1)| < |6(x-1)|$
Используя свойство модуля $|ab|=|a||b|$, получаем:$|x+3| \cdot |x-1| < 6|x-1|$
Перенесем все члены в левую часть:$|x+3| \cdot |x-1| - 6|x-1| < 0$
Вынесем общий множитель $|x-1|$ за скобки:$|x-1|(|x+3|-6) < 0$
Рассмотрим два случая:
1. Если $x=1$, то левая часть неравенства равна 0. Неравенство $0 < 0$ является ложным, следовательно, $x=1$ не является решением.
2. Если $x \neq 1$, то $|x-1| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|x-1|$, при этом знак неравенства не изменится:$|x+3|-6 < 0$
$|x+3| < 6$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:$-6 < x+3 < 6$
Вычтем 3 из всех частей:$-6 - 3 < x < 6 - 3$
$-9 < x < 3$
Объединяя результат с условием $x \neq 1$, мы должны исключить точку $x=1$ из полученного интервала. Это разбивает интервал на два.
Ответ: $x \in (-9; 1) \cup (1; 3)$.

в)Исходное неравенство: $\frac{|2x+7|-3x-4}{x+5-|5x-7|} \leq 0$.
Решим это неравенство методом интервалов, анализируя знаки числителя и знаменателя.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив нули знаменателя: $x+5-|5x-7| \neq 0$.
Найдем нули числителя и знаменателя.
1. Нули числителя: $|2x+7|-3x-4 = 0 \implies |2x+7| = 3x+4$.Решение возможно при $3x+4 \geq 0$, т.е. $x \geq -4/3$. Возведем обе части в квадрат:$(2x+7)^2 = (3x+4)^2 \implies 4x^2+28x+49=9x^2+24x+16 \implies 5x^2-4x-33=0$.Корни этого уравнения: $x_1=3$ (удовлетворяет $x \geq -4/3$) и $x_2=-2.2$ (не удовлетворяет, посторонний корень).Единственный нуль числителя: $x=3$.
2. Нули знаменателя: $x+5-|5x-7| = 0 \implies x+5 = |5x-7|$.Решение возможно при $x+5 \geq 0$, т.е. $x \geq -5$. Возведем обе части в квадрат:$(x+5)^2 = (5x-7)^2 \implies x^2+10x+25=25x^2-70x+49 \implies 24x^2-80x+24=0 \implies 3x^2-10x+3=0$.Корни: $x_1=3$ и $x_2=1/3$. Оба удовлетворяют условию $x \geq -5$.Нули знаменателя: $x=3$ и $x=1/3$. Эти точки не входят в ОДЗ.
3. Раскроем модули и решим неравенство на промежутках, определенных нулями подмодульных выражений ($x=-3.5$ и $x=1.4$) и нулями знаменателя ($x=1/3$).
Пусть $f(x) = \frac{|2x+7|-3x-4}{x+5-|5x-7|}$.
- Если $x < 1/3$: знаменатель $6x-2 < 0$. Неравенство $\frac{|2x+7|-3x-4}{6x-2} \leq 0$ равносильно $|2x+7|-3x-4 \geq 0$. - При $x \in [-3.5, 1/3)$: $|2x+7|=2x+7$, неравенство $2x+7-3x-4 \geq 0 \implies -x+3 \geq 0 \implies x \leq 3$. Решением является весь интервал $[-3.5, 1/3)$. - При $x < -3.5$: $|2x+7|=-(2x+7)$, неравенство $-(2x+7)-3x-4 \geq 0 \implies -5x-11 \geq 0 \implies x \leq -2.2$. Решением является весь интервал $(-\infty, -3.5)$.Объединяя эти два случая, получаем решение $(-\infty, 1/3)$.
- Если $x > 1/3$ (и $x \neq 3$): - При $x \in (1/3, 1.4)$: знаменатель $6x-2 > 0$. Неравенство равносильно $|2x+7|-3x-4 \leq 0$. На этом интервале $x>-3.5$, поэтому $|2x+7|=2x+7$. Получаем $2x+7-3x-4 \leq 0 \implies -x+3 \leq 0 \implies x \geq 3$. Пересечение $(1/3, 1.4)$ с $[3, \infty)$ пусто. Решений нет. - При $x \geq 1.4$ (и $x \neq 3$): $|2x+7|=2x+7$ и $|5x-7|=5x-7$. Дробь становится $\frac{(2x+7)-3x-4}{x+5-(5x-7)} = \frac{-x+3}{-4x+12} = \frac{-(x-3)}{-4(x-3)} = \frac{1}{4}$. Неравенство $1/4 \leq 0$ ложно. Решений нет.Точка $x=3$ не является решением, так как в ней знаменатель обращается в ноль.Точка $x=1/3$ также является нулем знаменателя и не входит в решение.Неравенство $\leq 0$ выполняется, когда дробь отрицательна. Это происходит на интервале $(-\infty, 1/3)$. Точек, где дробь равна 0, нет (в точке $x=3$ дробь не определена).
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$.