Номер 15, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) В арифметической прогрессии $20$ членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна $250$, а на нечетных - $220$. Найдите $a_{10}$ прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$, где $n$ — номер члена прогрессии, $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, в прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на нечетных местах (1-й, 3-й, ..., 19-й), равна 220. Сумма членов, стоящих на четных местах (2-й, 4-й, ..., 20-й), равна 250.

Запишем эти условия в виде формул:$S_{неч} = a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_{19} = 220$$S_{чет} = a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{20} = 250$

В каждой из этих сумм по 10 слагаемых.

Найдем разность прогрессии $d$. Для этого вычтем из суммы членов на четных местах сумму членов на нечетных местах:$S_{чет} - S_{неч} = (a_2 + a_4 + ... + a_{20}) - (a_1 + a_3 + ... + a_{19})$

Сгруппируем слагаемые попарно:$S_{чет} - S_{неч} = (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + ... + (a_{20} - a_{19})$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом равна $d$. Таким образом, каждая разность в скобках равна $d$:$a_2 - a_1 = d$$a_4 - a_3 = d$...$a_{20} - a_{19} = d$

Всего таких пар 10, поэтому их сумма равна $10d$.$S_{чет} - S_{неч} = 10d$

Подставим известные значения сумм:$250 - 220 = 10d$$30 = 10d$$d = \frac{30}{10} = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Члены, стоящие на нечетных местах ($a_1, a_3, ..., a_{19}$), сами образуют арифметическую прогрессию, в которой 10 членов. Сумма этой прогрессии находится по формуле $S_k = \frac{b_1 + b_k}{2} \cdot k$. В данном случае первый член этой новой прогрессии $b_1 = a_1$, последний $b_{10} = a_{19}$, а количество членов $k=10$.$S_{неч} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 10 = 5(a_1 + a_{19})$$220 = 5(a_1 + a_{19})$$a_1 + a_{19} = \frac{220}{5} = 44$

Выразим $a_{19}$ через $a_1$ и $d$ по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:$a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d$

Подставим это выражение в полученное ранее равенство:$a_1 + (a_1 + 18d) = 44$$2a_1 + 18d = 44$

Мы уже нашли, что $d=3$. Подставим это значение:$2a_1 + 18 \cdot 3 = 44$$2a_1 + 54 = 44$$2a_1 = 44 - 54$$2a_1 = -10$$a_1 = -5$

Теперь, зная первый член $a_1 = -5$ и разность $d = 3$, мы можем найти десятый член прогрессии $a_{10}$:$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$$a_{10} = -5 + 9 \cdot 3$$a_{10} = -5 + 27$$a_{10} = 22$

Ответ: 22