Номер 1, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2) На рисунке ниже изображен график функции $y=f(x)$. Исследовать функцию $f(x)$.

1. Область определения функции. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Судя по графику, функция определена на отрезке от -5 до 5 включительно. Ответ: $D(f) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции. Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Глядя на график, видим, что наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее равно 2. Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.

3. Нули функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс. Из графика видно, что это точки $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$. Ответ: $x = -4, x = 0, x = 2$.

4. Промежутки знакопостоянства. Определим промежутки, где функция положительна ($f(x)>0$) и где отрицательна ($f(x)<0$). Функция положительна (график выше оси $Ox$) на промежутках $x \in [-5; -4)$ и $x \in (2; 5]$. Функция отрицательна (график ниже оси $Ox$) на промежутках $x \in (-4; 0)$ и $x \in (0; 2)$. Ответ: $f(x)>0$ при $x \in [-5; -4) \cup (2; 5]$; $f(x)<0$ при $x \in (-4; 0) \cup (0; 2)$.

5. Четность и нечетность. Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Функция является нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат. Данный график не обладает ни одним из видов симметрии. Например, $f(2)=0$, а $f(-2)=-2$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: функция общего вида.

6. Промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает на промежутках, где график идет вверх (слева направо), и убывает, где график идет вниз. Функция возрастает на промежутках $x \in [-2; 0]$ и $x \in [1; 5]$. Функция убывает на промежутках $x \in [-5; -2]$ и $x \in [0; 1]$. Ответ: функция возрастает при $x \in [-2; 0] \cup [1; 5]$, убывает при $x \in [-5; -2] \cup [0; 1]$.

7. Точки экстремума. Точки экстремума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки максимума) или убывание сменяется возрастанием (точки минимума).
Точка локального максимума: $x_{max} = 0$, значение в этой точке $f(0) = 0$.
Точки локального минимума: $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 1$, значения в этих точках $f(-2) = -2$ и $f(1) = -1$.Ответ: точка максимума $x=0$; точки минимума $x=-2, x=1$.

8. Наибольшее и наименьшее значения функции. На всей области определения $[-5; 5]$ наибольшее значение функции достигается в точках $x=-5$ и $x=5$ и равно 2. Наименьшее значение достигается в точке $x=-2$ и равно -2. Ответ: $y_{наиб} = 2$, $y_{наим} = -2$.