Номер 5, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) Функция $f(x)$ определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x, & \text{если } x \le 0; \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 0 < x \le 2; \\ x, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Постройте график, исследуйте функцию $y=f(x)$.

Для исследования и построения графика кусочно-заданной функции проанализируем ее на каждом из трех участков.

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений $x$, так как она задана на трех промежутках, которые в объединении покрывают всю числовую ось: $(-\infty; 0] \cup (0; 2] \cup [2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Непрерывность и точки разрыва

На интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$ функция задана элементарными функциями, поэтому она непрерывна. Проверим непрерывность в точках стыка $x=0$ и $x=2$.

В точке $x=2$:

Левосторонний предел: $\lim_{x\to 2-} f(x) = \lim_{x\to 2-} \frac{4}{x} = \frac{4}{2} = 2$.

Правосторонний предел: $\lim_{x\to 2+} f(x) = \lim_{x\to 2+} x = 2$.

Значение функции в точке: $f(2) = 4/2 = 2$.

Так как $\lim_{x\to 2-} f(x) = \lim_{x\to 2+} f(x) = f(2)$, функция непрерывна в точке $x=2$.

В точке $x=0$:

Левосторонний предел: $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{x\to 0-} (-x^2 - 2x) = 0$.

Правосторонний предел: $\lim_{x\to 0+} f(x) = \lim_{x\to 0+} \frac{4}{x} = +\infty$.

Поскольку правый предел равен бесконечности, в точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода.

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Точка $x=0$ является точкой разрыва второго рода.

3. Четность и нечетность

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Проверим выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетность). Возьмем $x=2$, тогда $f(2)=2$. Для $-x=-2$, $f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) = -4 + 4 = 0$. Так как $f(-2) \neq f(2)$ и $f(-2) \neq -f(2)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида.

4. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy (x=0):

$f(0) = -0^2 - 2(0) = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

С осью Ox (y=0):

При $x \le 0$: $-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x+2) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=-2$.

При $0 < x \le 2$: $4/x = 0$. Решений нет.

При $x \ge 2$: $x=0$. Решение не входит в данный промежуток.

Точки пересечения — $(-2; 0)$ и $(0; 0)$.

Ответ: Пересечение с осью $Oy$: $(0; 0)$. Пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(0; 0)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции:

$f'(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x < 0 \\ -4/x^2, & \text{если } 0 < x < 2 \\ 1, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Критические точки: $f'(x)=0$ или не существует. $f'(x)=0$ при $-2x-2=0 \Rightarrow x=-1$. $f'(x)$ не существует в точках $x=0$ и $x=2$.

Проанализируем знак $f'(x)$ на интервалах:

$(-\infty; -1)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

$(-1; 0)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

$(0; 2)$: $f'(x)<0$, функция убывает.

$(2; +\infty)$: $f'(x)>0$, функция возрастает.

В точке $x=-1$ происходит смена знака производной с `+` на `-`, значит, это точка локального максимума. $f_{max} = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = 1$.

В точке $x=2$ происходит смена знака производной с `-` на `+`, значит, это точка локального минимума. $f_{min} = f(2) = 2$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$, убывает на $[-1; 0)$ и $(0; 2]$. Точка максимума $(-1; 1)$, точка минимума $(2; 2)$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \begin{cases} -2, & \text{если } x < 0 \\ 8/x^3, & \text{если } 0 < x < 2 \\ 0, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

При $x < 0$, $f''(x) = -2 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

При $0 < x < 2$, $f''(x) = 8/x^3 > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

При $x > 2$, $f''(x) = 0$, график является прямой линией.

Точек перегиба нет.

Ответ: График выпуклый вверх на $(-\infty; 0)$, выпуклый вниз на $(0; 2)$. Точек перегиба нет.

7. Асимптоты

Вертикальная асимптота: Так как $\lim_{x\to 0+} f(x) = +\infty$, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ($y=kx+b$):

При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{x} = 1$; $b = \lim_{x\to +\infty} (x - 1 \cdot x) = 0$. Асимптота $y=x$.

При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x\to -\infty} \frac{-x^2-2x}{x} = \lim_{x\to -\infty} (-x-2) = +\infty$. Наклонной асимптоты нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Наклонная асимптота при $x \to +\infty$: $y=x$.

8. Область значений

На $(-\infty; 0]$ функция принимает значения $(-\infty; 1]$. На $(0; +\infty)$ функция принимает значения $[2; +\infty)$. Объединяя, получаем область значений.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

9. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график:

1. Для $x \le 0$ строим график параболы $y=-x^2-2x$ с вершиной в $(-1; 1)$ и корнями в точках $-2$ и $0$.

2. Для $0 < x \le 2$ строим график гиперболы $y=4/x$, который проходит через точку $(1; 4)$ и заканчивается в точке $(2; 2)$. Слева график стремится к вертикальной асимптоте $x=0$.

3. Для $x \ge 2$ строим луч прямой $y=x$, выходящий из точки $(2; 2)$.

Ключевые точки на графике: пересечения с осями $(-2;0), (0;0)$; вершина параболы (локальный максимум) $(-1;1)$; точка стыка (локальный минимум) $(2;2)$.

Ответ: График состоит из трех частей: ветви параболы, ветви гиперболы и луча прямой, соединенных в точке $(2;2)$ и имеющих разрыв в точке $x=0$.