Номер 2, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Точки $(-5;2)$ и $(5;-2)$ имеют противоположные абсциссы и противоположные ординаты. Отметьте их на координатной плоскости. Отметьте еще несколько таких же пар точек. Что можно сказать о взаимном расположении точек в одной паре?

Данные точки $A(-5; 2)$ и $B(5; -2)$ обладают свойством, при котором их абсциссы и ординаты являются противоположными числами. Абсцисса точки $A$ — это $x_A = -5$, а ордината — $y_A = 2$. У точки $B$ абсцисса $x_B = 5$ и ордината $y_B = -2$. Таким образом, $x_B = -x_A$ и $y_B = -y_A$.

Отметьте их на координатной плоскости.
Чтобы отметить точку $A(-5; 2)$ на координатной плоскости, от начала координат $(0;0)$ необходимо переместиться на 5 единиц влево по оси $Ox$ (ось абсцисс) и на 2 единицы вверх параллельно оси $Oy$ (ось ординат). Точка $A$ будет расположена во II координатной четверти.
Чтобы отметить точку $B(5; -2)$, от начала координат нужно переместиться на 5 единиц вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз параллельно оси $Oy$. Точка $B$ будет расположена в IV координатной четверти.

Отметьте еще несколько таких же пар точек.
Приведем примеры нескольких других пар точек, обладающих таким же свойством (противоположные абсциссы и ординаты):
1. Точки $C(3; 4)$ и $D(-3; -4)$. Точка $C$ лежит в I четверти, а точка $D$ — в III четверти.
2. Точки $E(-1; 3)$ и $F(1; -3)$. Точка $E$ лежит во II четверти, а точка $F$ — в IV четверти.
3. Точки $G(2; 5)$ и $H(-2; -5)$. Точка $G$ лежит в I четверти, а точка $H$ — в III четверти.

Что можно сказать о взаимном расположении точек в одной паре?
Возьмем общую пару точек, удовлетворяющих условию: $P(x; y)$ и $Q(-x; -y)$. Чтобы проанализировать их взаимное расположение, найдем координаты середины отрезка $PQ$. Пусть середина отрезка — точка $M$. Ее координаты вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_P + x_Q}{2}$ и $y_M = \frac{y_P + y_Q}{2}$
Подставим координаты наших точек $P$ и $Q$:
$x_M = \frac{x + (-x)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{y + (-y)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Середина отрезка, соединяющего любую такую пару точек, всегда имеет координаты $(0; 0)$, то есть совпадает с началом координат. Это свойство является определением центральной симметрии. Таким образом, две точки в каждой паре симметричны друг другу относительно начала координат. Это также означает, что они лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, на одинаковом расстоянии от него, но в противоположных направлениях.
Ответ: Точки в одной паре, имеющие противоположные абсциссы и противоположные ординаты, расположены симметрично относительно начала координат.