Номер 5, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Попробуйте самостоятельно сформулировать корректное (правильное) определение нечетной функции и объяснить, почему график любой нечетной функции является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке $O(0,0)$.

Определение нечетной функции
Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если выполняются два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля. Это означает, что если некоторое число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также принадлежит области определения.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство: $f(-x) = -f(x)$.
Это означает, что противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Ответ: Функция $f(x)$ является нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Объяснение, почему график любой нечетной функции является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке O(0,0)
Центральная симметрия фигуры относительно точки $O(0,0)$ (начала координат) означает, что если точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит этой фигуре, то и точка $M'(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также принадлежит этой фигуре.
Рассмотрим график нечетной функции $y = f(x)$.
Пусть точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику этой функции. По определению графика функции, это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть $y_0 = f(x_0)$.
Теперь нам нужно доказать, что точка $M'(-x_0, -y_0)$ также принадлежит графику. Для этого нужно проверить, выполняется ли для ее координат равенство $y = f(x)$, то есть, верно ли, что $-y_0 = f(-x_0)$.
Так как функция $f(x)$ является нечетной, то по определению для любого $x_0$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x_0) = -f(x_0)$.
Мы знаем, что $y_0 = f(x_0)$, поэтому мы можем заменить $f(x_0)$ на $y_0$ в правой части равенства. Получаем:
$f(-x_0) = -y_0$.
Это и есть то равенство, которое мы хотели проверить. Оно показывает, что точка $M'(-x_0, -y_0)$ действительно удовлетворяет уравнению функции $y = f(x)$ и, следовательно, лежит на ее графике.
Таким образом, мы доказали, что для каждой точки $M(x_0, y_0)$ на графике нечетной функции существует симметричная ей относительно начала координат точка $M'(-x_0, -y_0)$, которая также лежит на этом графике. Это и означает, что график нечетной функции является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке $O(0,0)$.

Ответ: График нечетной функции симметричен относительно начала координат, потому что если точка $(x, y)$ лежит на графике (т.е. $y = f(x)$), то из свойства нечетности $f(-x) = -f(x)$ следует, что $f(-x) = -y$. Это означает, что точка $(-x, -y)$, симметричная исходной точке относительно начала координат, также лежит на графике.