Страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Попробуйте самостоятельно сформулировать корректное (правильное) определение нечетной функции и объяснить, почему график любой нечетной функции является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке $O(0,0)$.

Определение нечетной функции
Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если выполняются два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля. Это означает, что если некоторое число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также принадлежит области определения.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство: $f(-x) = -f(x)$.
Это означает, что противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Ответ: Функция $f(x)$ является нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Объяснение, почему график любой нечетной функции является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке O(0,0)
Центральная симметрия фигуры относительно точки $O(0,0)$ (начала координат) означает, что если точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит этой фигуре, то и точка $M'(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также принадлежит этой фигуре.
Рассмотрим график нечетной функции $y = f(x)$.
Пусть точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику этой функции. По определению графика функции, это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть $y_0 = f(x_0)$.
Теперь нам нужно доказать, что точка $M'(-x_0, -y_0)$ также принадлежит графику. Для этого нужно проверить, выполняется ли для ее координат равенство $y = f(x)$, то есть, верно ли, что $-y_0 = f(-x_0)$.
Так как функция $f(x)$ является нечетной, то по определению для любого $x_0$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x_0) = -f(x_0)$.
Мы знаем, что $y_0 = f(x_0)$, поэтому мы можем заменить $f(x_0)$ на $y_0$ в правой части равенства. Получаем:
$f(-x_0) = -y_0$.
Это и есть то равенство, которое мы хотели проверить. Оно показывает, что точка $M'(-x_0, -y_0)$ действительно удовлетворяет уравнению функции $y = f(x)$ и, следовательно, лежит на ее графике.
Таким образом, мы доказали, что для каждой точки $M(x_0, y_0)$ на графике нечетной функции существует симметричная ей относительно начала координат точка $M'(-x_0, -y_0)$, которая также лежит на этом графике. Это и означает, что график нечетной функции является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в точке $O(0,0)$.

Ответ: График нечетной функции симметричен относительно начала координат, потому что если точка $(x, y)$ лежит на графике (т.е. $y = f(x)$), то из свойства нечетности $f(-x) = -f(x)$ следует, что $f(-x) = -y$. Это означает, что точка $(-x, -y)$, симметричная исходной точке относительно начала координат, также лежит на графике.

1. (1) Чему равны производные функций $y=3x-567$, $y=-3x$, $y=6$, $y=-\frac{1}{2}x$, $y=-\frac{1}{2}x+7$? Как связаны между собой знаки производных и наклоны соответствующих прямых?

1. (1)

Для нахождения производных данных линейных функций воспользуемся правилами дифференцирования. Производная от суммы функций равна сумме производных, производная от $kx$ равна $k$, а производная от константы $c$ равна нулю. В общем виде, для линейной функции $y = kx + b$, ее производная $y'$ равна угловому коэффициенту $k$.

y=3x-567

Находим производную по правилам дифференцирования: $y' = (3x-567)' = (3x)' - (567)' = 3 \cdot (x)' - 0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3.

y=-3x

Находим производную: $y' = (-3x)' = -3 \cdot (x)' = -3 \

2. (1) Производная четной функции в точке $x=5$ равна $(-10)$. Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной в точке $x=-5$?

(1)

Да, мы можем однозначно определить значение производной в точке $x=-5$.

Пусть $f(x)$ — данная четная функция. По определению четной функции для любого $x$ из ее области определения справедливо равенство:
$f(x) = f(-x)$

Чтобы найти связь между производными в симметричных точках, продифференцируем обе части этого равенства по переменной $x$. Для левой части производная равна $f'(x)$. Для правой части, $f(-x)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (где внутренняя функция — $-x$):
$(f(x))' = (f(-x))'$
$f'(x) = f'(-x) \cdot (-x)'$
$f'(x) = f'(-x) \cdot (-1)$
$f'(x) = -f'(-x)$

Из полученного равенства $f'(-x) = -f'(x)$ следует, что производная четной функции является нечетной функцией.

По условию задачи нам дано, что производная в точке $x=5$ равна $(-10)$:
$f'(5) = -10$

Теперь мы можем найти значение производной в точке $x=-5$, используя свойство нечетности производной:
$f'(-5) = -f'(5)$
Подставляем известное значение:
$f'(-5) = -(-10)$
$f'(-5) = 10$

Ответ: Да, можем. Значение производной в точке $x=-5$ равно 10.

3. (1) Известно, что для функции $y=f(x)$ значение производной в точке $x=4$ равно 7. Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-7$? Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной $y=f(-x)$ в точке $x=-4$?

По условию задачи нам дано, что для функции $y=f(x)$ значение производной в точке $x=4$ равно 7. Это можно записать как $f'(4) = 7$.

Нам нужно проанализировать производную функции $g(x) = f(-x)$. Для этого найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внутренняя функция $u(x) = -x$, а внешняя — $f(u)$.

Производная $g'(x)$ будет равна произведению производной внешней функции по ее аргументу на производную внутренней функции:

$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-x)'$

Поскольку производная от $-x$ по $x$ равна $-1$, получаем общую формулу для производной функции $g(x)$:

$g'(x) = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

Теперь применим эту формулу для ответа на вопросы задачи.

Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной функции y=f(-x) в точке x=-7?

Чтобы найти значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-7$, подставим $x=-7$ в выведенную нами формулу $g'(x) = -f'(-x)$:

$g'(-7) = -f'(-(-7)) = -f'(7)$

Для вычисления этого значения нам необходимо знать значение $f'(7)$. Однако в условии задачи дана информация только о значении производной в точке $x=4$, то есть $f'(4)=7$. Никакой информации о поведении функции или ее производной в точке $x=7$ у нас нет. Следовательно, определить значение $g'(-7)$ невозможно.

Ответ: Нет, на основании имеющихся данных сказать что-либо определенное о значении этой производной нельзя.

Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной y=f(-x) в точке x=-4?

Чтобы найти значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-4$, подставим $x=-4$ в формулу $g'(x) = -f'(-x)$:

$g'(-4) = -f'(-(-4)) = -f'(4)$

Из условия задачи мы знаем, что $f'(4) = 7$. Подставив это значение, получаем:

$g'(-4) = - (7) = -7$

Таким образом, мы можем однозначно определить значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-4$.

Ответ: Да, значение производной функции $y=f(-x)$ в точке $x=-4$ равно -7.

По графику функции $f(x) = x^2 - 2x$ определите знаки чисел $f'(-1), f'(0), f'(2), f'(1), f'(4)$.

Для определения знаков производной функции $f(x)=x^2-2x$ в заданных точках, воспользуемся ее геометрическим смыслом. Знак производной $f'(x_0)$ в точке $x_0$ показывает, возрастает или убывает функция в этой точке. Если $f'(x_0) > 0$, функция возрастает. Если $f'(x_0) < 0$, функция убывает. Если $f'(x_0) = 0$, то $x_0$ является стационарной точкой (точкой экстремума), где касательная к графику горизонтальна.

Функция $f(x)=x^2-2x$ — это квадратичная функция. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный).

Ключевой точкой для анализа является вершина параболы. Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=-2$, поэтому $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

В точке $x=1$ находится минимум функции. Это означает, что на интервале $(-\infty, 1)$ функция убывает (ее график "идет вниз"), а на интервале $(1, +\infty)$ — возрастает (ее график "идет вверх"). Исходя из этого, определим знаки производной в заданных точках.

f'(-1)

Точка $x=-1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Следовательно, значение производной в этой точке отрицательно.

Ответ: $f'(-1) < 0$.

f'(0)

Точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Следовательно, значение производной в этой точке отрицательно.

Ответ: $f'(0) < 0$.

f'(2)

Точка $x=2$ принадлежит интервалу $(1, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, значение производной в этой точке положительно.

Ответ: $f'(2) > 0$.

f'(1)

Точка $x=1$ является точкой минимума функции (вершиной параболы). В этой точке касательная к графику параллельна оси абсцисс, а производная равна нулю.

Ответ: $f'(1) = 0$.

f'(4)

Точка $x=4$ принадлежит интервалу $(1, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, значение производной в этой точке положительно.

Ответ: $f'(4) > 0$.

5. (2) Постройте график функции $f(x)=|x^2-2x|$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная положительна.

Для построения графика функции $f(x) = |x^2 - 2x|$ сначала построим график параболы $y = x^2 - 2x$.

1. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=2$.

2. Найдем вершину параболы. Координата x вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Координата y вершины: $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Координаты вершины: $(1, -1)$.

3. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

4. График функции $f(x)=|x^2-2x|$ получается из графика параболы $y=x^2-2x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси (где $y < 0$). Часть графика, которая лежит выше или на оси Ox, остается без изменений. Таким образом, часть параболы на интервале $(0, 2)$ отражается вверх, и ее вершина из точки $(1, -1)$ переходит в точку $(1, 1)$.

Теперь определим свойства производной. Для этого раскроем модуль, представив функцию в кусочно-заданном виде:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x^2 - 2x \ge 0, \text{ то есть при } x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty) \\ -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x, & \text{если } x^2 - 2x < 0, \text{ то есть при } x \in (0, 2) \end{cases}$

Найдем производную для каждого интервала:
$f'(x) = \begin{cases} 2x - 2, & \text{при } x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \\ -2x + 2, & \text{при } x \in (0, 2) \end{cases}$

а) не существует производной;Производная не существует в точках "излома" графика, где левосторонняя и правосторонняя производные не равны. Это происходит в точках, где выражение под модулем обращается в ноль: $x=0$ и $x=2$.Проверим точку $x=0$:
Производная слева: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x-2) = -2$.
Производная справа: $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (-2x+2) = 2$.
Поскольку $-2 \neq 2$, производная в точке $x=0$ не существует.Проверим точку $x=2$:
Производная слева: $\lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x+2) = -2(2)+2 = -2$.
Производная справа: $\lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x-2) = 2(2)-2 = 2$.
Поскольку $-2 \neq 2$, производная в точке $x=2$ не существует.
Ответ: производная не существует в точках $x=0$ и $x=2$.

б) производная равна нулю;Приравняем производную к нулю на каждом из интервалов.
1) Для $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$: $f'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это значение не принадлежит данным интервалам.
2) Для $x \in (0, 2)$: $f'(x) = -2x + 2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это значение принадлежит данному интервалу. Эта точка соответствует вершине отраженной части параболы.
Ответ: производная равна нулю в точке $x=1$.

в) производная положительна.Решим неравенство $f'(x) > 0$ для каждого интервала.
1) Для $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$: $f'(x) = 2x - 2 > 0 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1$. Учитывая область определения для этого случая, получаем $x \in (2, \infty)$.
2) Для $x \in (0, 2)$: $f'(x) = -2x + 2 > 0 \Rightarrow 2 > 2x \Rightarrow x < 1$. Учитывая область определения для этого случая, получаем $x \in (0, 1)$.
Объединяя результаты, получаем, что производная положительна, когда функция возрастает.
Ответ: производная положительна при $x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$.

6. (2) Постройте график функции $f(x)=|\sin x|+1$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная отрицательна.

Для построения графика функции $f(x) = |\sin x| + 1$ сначала строится график $y = \sin x$. Затем часть графика, лежащая ниже оси абсцисс, симметрично отражается вверх, в результате чего получается график функции $y = |\sin x|$. Эта функция является периодической с периодом $\pi$. Наконец, весь график сдвигается на 1 единицу вверх по оси ординат. Итоговый график $f(x) = |\sin x| + 1$ колеблется в диапазоне от 1 до 2, имеет "острые" минимумы (точки излома) и "гладкие" максимумы.

а) не существует производной
Производная функции не существует в точках излома ее графика. Для функции $f(x) = |\sin x| + 1$ точки излома возникают там, где выражение под модулем, $\sin x$, равно нулю. Это происходит в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках график имеет острые "углы".
Чтобы доказать это формально, можно рассмотреть односторонние производные. Производная функции $f(x)$ определяется как $f'(x) = \cos x$ при $\sin x > 0$ и $f'(x) = -\cos x$ при $\sin x < 0$. В точке $x=k\pi$ левосторонняя и правосторонняя производные не равны. Например, для $x=0$:
Производная слева (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -1$.
Производная справа (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = 1$.
Поскольку $-1 \ne 1$, производная в точке $x=0$ не существует. Аналогично для всех точек вида $x = k\pi$.
Ответ: Производная не существует в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) производная равна нулю
Производная равна нулю в точках локальных экстремумов, где касательная к графику горизонтальна. В данном случае это "гладкие" вершины графика, то есть точки максимума. Максимум функции $f(x)$ достигается, когда $|\sin x|$ достигает своего максимального значения, равного 1.
Условие $|\sin x| = 1$ выполняется в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим это, приравняв производную к нулю:
1. При $\sin x > 0$, $f'(x) = \cos x$. Уравнение $\cos x = 0$ дает решения $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
2. При $\sin x < 0$, $f'(x) = -\cos x$. Уравнение $-\cos x = 0$ дает решения $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
Объединяя эти два семейства решений, получаем $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Ответ: Производная равна нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) производная отрицательна
Производная отрицательна на тех интервалах, где функция убывает. Глядя на график, можно увидеть, что функция убывает от своих максимумов (в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$) до следующих за ними минимумов (в точках $x = (k+1)\pi$).
Проанализируем знак производной:
1. При $\sin x > 0$ (например, на $(0, \pi)$), имеем $f'(x) = \cos x$. Производная отрицательна, когда $\cos x < 0$, что на данном интервале соответствует $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$.
2. При $\sin x < 0$ (например, на $(\pi, 2\pi)$), имеем $f'(x) = -\cos x$. Производная отрицательна, когда $-\cos x < 0$, то есть $\cos x > 0$. На данном интервале это соответствует $x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
Обобщая эти наблюдения на всю числовую прямую, получаем, что производная отрицательна на интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi)$.
Ответ: Производная отрицательна при $x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.