Страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Точки $(4;-3)$ и $(-4;-3)$ имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Отметьте их на координатной плоскости. Отметьте еще несколько таких же пар точек. Что можно сказать о взаимном расположении точек в одной паре?

В задаче рассматриваются точки, у которых одинаковые ординаты (координаты $y$) и противоположные по знаку абсциссы (координаты $x$).

Исходные точки — это $A(4; -3)$ и $B(-4; -3)$.

Чтобы отметить точку $A(4; -3)$ на координатной плоскости, нужно от начала координат ($0;0$) отложить 4 единицы вправо по оси абсцисс ($Ox$) и затем 3 единицы вниз параллельно оси ординат ($Oy$).

Чтобы отметить точку $B(-4; -3)$, нужно от начала координат отложить 4 единицы влево по оси абсцисс ($Ox$) и затем 3 единицы вниз параллельно оси ординат ($Oy$).

Ответ: Точки $A(4; -3)$ и $B(-4; -3)$ отмечены на координатной плоскости согласно их координатам.

Приведем несколько других примеров пар точек, которые обладают тем же свойством (одинаковые ординаты и противоположные абсциссы):

1. Пара точек $C(2; 5)$ и $D(-2; 5)$.

2. Пара точек $E(6; 1)$ и $F(-6; 1)$.

3. Пара точек $G(1; -4)$ и $H(-1; -4)$.

Построение этих точек на координатной плоскости выполняется по тому же принципу, что и для исходной пары.

Ответ: В качестве примеров можно отметить следующие пары точек: $(2; 5)$ и $(-2; 5)$; $(6; 1)$ и $(-6; 1)$; $(1; -4)$ и $(-1; -4)$.

Рассмотрим общую пару точек, удовлетворяющую условию: $P(a; b)$ и $Q(-a; b)$, где $a \neq 0$.

1. Так как у обеих точек ордината (координата $y$) одинакова и равна $b$, обе точки лежат на одной и той же горизонтальной прямой, заданной уравнением $y=b$. Эта прямая параллельна оси абсцисс $Ox$.

2. Абсциссы точек ($a$ и $-a$) равны по модулю ($|a| = |-a|$), но противоположны по знаку. Это означает, что точки находятся на одинаковом расстоянии от оси ординат ($Oy$), но по разные стороны от нее.

Из этих двух наблюдений следует, что точки в такой паре являются зеркальным отражением друг друга относительно оси $Oy$. Таким образом, они симметричны относительно оси ординат.

Ответ: Точки в одной паре симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$).

Упражнение 2

Точки $(-5;2)$ и $(5;-2)$ имеют противоположные абсциссы и противоположные ординаты. Отметьте их на координатной плоскости. Отметьте еще несколько таких же пар точек. Что можно сказать о взаимном расположении точек в одной паре?

Данные точки $A(-5; 2)$ и $B(5; -2)$ обладают свойством, при котором их абсциссы и ординаты являются противоположными числами. Абсцисса точки $A$ — это $x_A = -5$, а ордината — $y_A = 2$. У точки $B$ абсцисса $x_B = 5$ и ордината $y_B = -2$. Таким образом, $x_B = -x_A$ и $y_B = -y_A$.

Отметьте их на координатной плоскости.
Чтобы отметить точку $A(-5; 2)$ на координатной плоскости, от начала координат $(0;0)$ необходимо переместиться на 5 единиц влево по оси $Ox$ (ось абсцисс) и на 2 единицы вверх параллельно оси $Oy$ (ось ординат). Точка $A$ будет расположена во II координатной четверти.
Чтобы отметить точку $B(5; -2)$, от начала координат нужно переместиться на 5 единиц вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз параллельно оси $Oy$. Точка $B$ будет расположена в IV координатной четверти.

Отметьте еще несколько таких же пар точек.
Приведем примеры нескольких других пар точек, обладающих таким же свойством (противоположные абсциссы и ординаты):
1. Точки $C(3; 4)$ и $D(-3; -4)$. Точка $C$ лежит в I четверти, а точка $D$ — в III четверти.
2. Точки $E(-1; 3)$ и $F(1; -3)$. Точка $E$ лежит во II четверти, а точка $F$ — в IV четверти.
3. Точки $G(2; 5)$ и $H(-2; -5)$. Точка $G$ лежит в I четверти, а точка $H$ — в III четверти.

Что можно сказать о взаимном расположении точек в одной паре?
Возьмем общую пару точек, удовлетворяющих условию: $P(x; y)$ и $Q(-x; -y)$. Чтобы проанализировать их взаимное расположение, найдем координаты середины отрезка $PQ$. Пусть середина отрезка — точка $M$. Ее координаты вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_P + x_Q}{2}$ и $y_M = \frac{y_P + y_Q}{2}$
Подставим координаты наших точек $P$ и $Q$:
$x_M = \frac{x + (-x)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{y + (-y)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Середина отрезка, соединяющего любую такую пару точек, всегда имеет координаты $(0; 0)$, то есть совпадает с началом координат. Это свойство является определением центральной симметрии. Таким образом, две точки в каждой паре симметричны друг другу относительно начала координат. Это также означает, что они лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, на одинаковом расстоянии от него, но в противоположных направлениях.
Ответ: Точки в одной паре, имеющие противоположные абсциссы и противоположные ординаты, расположены симметрично относительно начала координат.

Упражнение 3

Рассмотрим функции $g(x) = x^2 + 4x^6$, $h(x)=|x|$ на их естественной области определения. Сравните между собой значения $g(x)$ и $g(-x)$, $h(x)$ и $h(-x)$. Что можно сказать о значениях этих функций в противоположных точках? Какие выводы можно сделать о структуре графиков этих функций?

Сравните между собой значения g(x) и g(-x), h(x) и h(-x).
Для функции $g(x) = x^2 + 4x^6$, естественной областью определения которой является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), найдем значение $g(-x)$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:
$g(-x) = (-x)^2 + 4(-x)^6$.
Так как показатели степеней 2 и 6 являются четными числами, то $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^6 = x^6$. Таким образом, выражение принимает вид:
$g(-x) = x^2 + 4x^6$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $g(x)$, мы видим, что $g(-x) = g(x)$.

Для функции $h(x) = |x|$, естественная область определения которой также является множеством всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), найдем значение $h(-x)$:
$h(-x) = |-x|$.
По свойству модуля числа, $|-x| = |x|$. Следовательно,
$h(-x) = |x|$.
Сравнивая с исходной функцией $h(x)$, мы видим, что $h(-x) = h(x)$.

Ответ: Для обеих функций значения в точках $x$ и $-x$ равны: $g(x) = g(-x)$ и $h(x) = h(-x)$.

Что можно сказать о значениях этих функций в противоположных точках?
Противоположные точки на числовой оси — это точки $x$ и $-x$. Как было установлено в предыдущем пункте, для обеих функций выполняется равенство их значений в этих точках: $g(x) = g(-x)$ и $h(x) = h(-x)$ для любого $x$ из их области определения. Это свойство является определением четной функции.

Ответ: Значения этих функций в противоположных точках равны. Обе функции, $g(x)$ и $h(x)$, являются четными.

Какие выводы можно сделать о структуре графиков этих функций?
Свойство четности функции, то есть выполнение равенства $f(-x) = f(x)$, имеет четкую геометрическую интерпретацию. Оно означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это происходит потому, что для каждой точки $(x, y)$ на графике существует симметричная ей точка $(-x, y)$, которая также лежит на графике. Так как обе функции, $g(x)$ и $h(x)$, являются четными, их графики обладают этим свойством симметрии.

Ответ: Графики функций $g(x) = x^2 + 4x^6$ и $h(x) = |x|$ симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

Упражнение 4

Рассмотрим функции $g(x)=x^3-5x^7$, $h(x)=x(|x|-x^2)$ на их естественной области определения. Сравните между собой значения $g(x)$ и $g(-x)$, $h(x)$ и $h(-x)$. Что можно сказать о значениях этих функций в противоположных точках? Какие выводы можно сделать о структуре графиков этих функций?

Если вы все правильно сделали, то поняли, что значения функций из упражнения 3 в противоположных точках совпадают. Например, $g(-x)=(-x)^2+4(-x)^8=x^2+4x^8=g(x)$. Это значит, что любая пара точек графиков этих функций с противоположными абсциссами имеет одинаковые ординаты (упражнение 1). Следовательно, для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике симметричная ей относительно прямой $Oy$ точка $(-x_0, y_0)$ тоже лежит на графике. Но это значит, что весь график симметричен сам себе относительно оси $Oy$ (упражнение 1). Такие функции называются четными.

В упражнении 4 имеем $g(-x)=(-x)^3-5(-x)^7=-x^3+5x^7=-(x^3-5x^7)=-g(x)$, т.е. любая пара точек с противоположными абсциссами имеет противоположные ординаты (упражнение 2). Следовательно, для любой точки $(x_0, y_0)$ симметричная ей относительно $(0,0)$ точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ так же лежит на графике. Но это значит, что весь график симметричен сам себе относительно точки $O(0,0)$. Такие функции называются нечетными.

Условие 1) в данном определении означает симметричность множества $D(f)$ относительно начала координат на оси $Ox$. Иными словами, в любой паре точек с противоположными координатами на оси либо обе не принадлежат области $D(f)$, либо обе принадлежат $D(f)$. Во втором случае значения функции в этих точках равны между собой. Это значит, что если какая-то точка $(x_0, y_0)$ координатной плоскости лежит на графике четной функции, то $(-x_0, y_0)$ также лежит на графике той же функции. Но такие пары точек симметричны друг другу относительно оси $Oy$ (см. упражнение 1). Следовательно, прямая $Oy$ является осью симметрии графика любой четной функции.

Далее будет сформулировано определение нечетной функции и соответствующее свойство ее графика. Но для вас будет гораздо интереснее и полезнее выполнить следующее упражнение.

Для решения задачи проанализируем каждую функцию по отдельности, а затем сделаем общие выводы, отвечая на поставленные в упражнении вопросы.

Сравнение значений g(x) и g(-x), h(x) и h(-x)

Естественная область определения для обеих функций — множество всех действительных чисел $ \mathbb{R} $, которое является симметричным относительно точки $0$.

1. Рассмотрим функцию $g(x) = x^3 - 5x^7$.
Найдем значение этой функции в точке $-x$:
$g(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^7 = -x^3 - 5(-x^7) = -x^3 + 5x^7$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$g(-x) = -(x^3 - 5x^7)$.
Поскольку выражение в скобках равно исходной функции $g(x)$, мы получаем:
$g(-x) = -g(x)$.

2. Рассмотрим функцию $h(x) = x(|x| - x^2)$.
Найдем значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = (-x)(|-x| - (-x)^2)$.
Используя свойства модуля ($|-x| = |x|$) и квадрата числа ($(-x)^2 = x^2$), преобразуем выражение:
$h(-x) = -x(|x| - x^2)$.
Выражение в скобках, умноженное на $x$, равно исходной функции $h(x)$, следовательно:
$h(-x) = -h(x)$.

Ответ: Для функции $g(x)$ справедливо равенство $g(-x) = -g(x)$. Для функции $h(x)$ справедливо равенство $h(-x) = -h(x)$.

Значения функций в противоположных точках

Из проведенного выше сравнения следует, что для обеих функций значение в точке $-x$ равно значению в точке $x$, взятому с противоположным знаком. Это свойство называется нечетностью функции.
Таким образом, для любой пары противоположных точек $x_0$ и $-x_0$ из области определения, значения функций в этих точках также будут противоположны: $g(-x_0) = -g(x_0)$ и $h(-x_0) = -h(x_0)$.

Ответ: Значения этих функций в противоположных точках являются противоположными числами.

Структура графиков функций

Функции, удовлетворяющие условию $f(-x) = -f(x)$ на всей своей симметричной области определения, называются нечетными.
Геометрически это свойство означает, что график функции симметричен относительно начала координат — точки $O(0,0)$. Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику нечетной функции, то и точка с координатами $(-x_0, -y_0)$, полученная из первой центральной симметрией относительно начала координат, также обязательно принадлежит этому графику.
Поскольку обе функции, $g(x)$ и $h(x)$, являются нечетными, их графики обладают этим свойством.

Ответ: Графики функций $g(x)$ и $h(x)$ симметричны относительно начала координат.