Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение

6 Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – две нечетные функции, имеющие одинаковую область определения, $h(x) = f(x) - g(x)$, $u(x) = f(x) \cdot g(x)$. Какими функциями являются $h(x)$ и $u(x)$?

h(x)
По условию, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются нечетными. Это означает, что для любого $x$ из их общей симметричной области определения выполняются следующие равенства:
$f(-x) = -f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Чтобы определить, является ли функция $h(x) = f(x) - g(x)$ четной, нечетной или ни той, ни другой, нужно найти значение $h(-x)$ и сравнить его с $h(x)$.
$h(-x) = f(-x) - g(-x)$
Используем свойства нечетности для функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) - (-g(x)) = -f(x) + g(x)$
Вынесем знак «минус» за скобки:
$h(-x) = -(f(x) - g(x))$
Так как исходная функция $h(x) = f(x) - g(x)$, мы получаем, что $h(-x) = -h(x)$.
Это равенство является определением нечетной функции.
Ответ: функция $h(x)$ является нечетной.

u(x)
Теперь рассмотрим функцию $u(x) = f(x) \cdot g(x)$. Аналогично предыдущему пункту, найдем значение $u(-x)$, чтобы определить ее четность.
$u(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Снова используем свойство нечетности для функций $f(x)$ и $g(x)$, т.е. $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.
$u(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x))$
Произведение двух отрицательных множителей является положительным:
$u(-x) = f(x) \cdot g(x)$
Так как исходная функция $u(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получаем, что $u(-x) = u(x)$.
Это равенство является определением четной функции.
Ответ: функция $u(x)$ является четной.

Упражнение 7

Существует ли функция, которая является и четной, и нечетной одновременно?

Да, такая функция существует. Чтобы найти ее, обратимся к определениям четной и нечетной функций.

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения, симметричной относительно нуля, выполняется равенство: $f(-x) = f(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения, симметричной относительно нуля, выполняется равенство: $f(-x) = -f(x)$.

Если некоторая функция $f(x)$ является и четной, и нечетной одновременно, то для нее должны одновременно выполняться оба этих равенства:

$f(-x) = f(x)$

$f(-x) = -f(x)$

Поскольку левые части этих равенств одинаковы, мы можем приравнять их правые части:

$f(x) = -f(x)$

Теперь решим это уравнение относительно $f(x)$. Перенесем $-f(x)$ в левую часть:

$f(x) + f(x) = 0$

$2 \cdot f(x) = 0$

Разделив обе части на 2, получаем:

$f(x) = 0$

Таким образом, единственная функция, удовлетворяющая обоим условиям, — это константа, тождественно равная нулю: $f(x) = 0$. Ее область определения — вся числовая прямая, которая симметрична относительно нуля.

Проверим это.
1. Является ли $f(x) = 0$ четной? $f(-x) = 0$, $f(x) = 0$. Так как $0=0$, условие $f(-x) = f(x)$ выполняется.
2. Является ли $f(x) = 0$ нечетной? $f(-x) = 0$, $-f(x) = -0 = 0$. Так как $0=0$, условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется.