Страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Докажите, что: а) $(\arcsin)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$; б) $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (формула 9); в) $(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$ (формула 11).

Поскольку правило дифференцирования сложной функции мы уже обсудили, то формулы 3-11 из второй колонки таблицы можно считать доказанными. Приведем несколько примеров их применения.

а) Докажем формулу для производной арксинуса: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Пусть $y = \arcsin x$. По определению арксинуса, это эквивалентно $x = \sin y$, где $x \in [-1, 1]$ и $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Для нахождения производной $\frac{dy}{dx}$ воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Продифференцируем обе части равенства $x = \sin y$ по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y)$

Применяя правило дифференцирования сложной функции для правой части, получаем:

$1 = (\cos y) \cdot \frac{dy}{dx}$

Отсюда выразим $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

Теперь нам нужно выразить $\cos y$ через $x$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$.

Отсюда $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$. Так как $x = \sin y$, то $\cos^2 y = 1 - x^2$.

Следовательно, $\cos y = \pm \sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, рассмотрим область значений функции $y = \arcsin x$, которая является отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке косинус неотрицателен, то есть $\cos y \ge 0$. Поэтому мы выбираем знак плюс:

$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$

Заметим, что производная не определена, когда $\cos y = 0$, то есть при $y = \pm \frac{\pi}{2}$, что соответствует $x = \pm 1$. Таким образом, формула верна для $x \in (-1, 1)$.

Подставляя выражение для $\cos y$ в формулу для производной, получаем:

$\frac{dy}{dx} = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

б) Докажем формулу для производной арккосинуса: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Пусть $y = \arccos x$. По определению арккосинуса, это эквивалентно $x = \cos y$, где $x \in [-1, 1]$ и $y \in [0, \pi]$.

Продифференцируем обе части равенства $x = \cos y$ по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\cos y)$

$1 = (-\sin y) \cdot \frac{dy}{dx}$

Выразим $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$

Теперь выразим $\sin y$ через $x$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ следует, что $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$.

Так как $x = \cos y$, получаем $\sin^2 y = 1 - x^2$.

Следовательно, $\sin y = \pm \sqrt{1 - x^2}$.

Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке синус неотрицателен, то есть $\sin y \ge 0$. Поэтому мы выбираем знак плюс:

$\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

Производная не определена при $\sin y = 0$, то есть при $y = 0$ и $y = \pi$, что соответствует $x = 1$ и $x = -1$. Таким образом, формула верна для $x \in (-1, 1)$.

Подставляя выражение для $\sin y$ в формулу для производной, получаем:

$\frac{dy}{dx} = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

в) Докажем формулу для производной арккотангенса: $(\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$.

Пусть $y = \text{arcctg } x$. По определению арккотангенса, это эквивалентно $x = \text{ctg } y$, где $x \in (-\infty, \infty)$ и $y \in (0, \pi)$.

Продифференцируем обе части равенства $x = \text{ctg } y$ по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\text{ctg } y)$

Зная, что производная котангенса $(\text{ctg } y)'_y = -(1 + \text{ctg}^2 y)$, применяем правило дифференцирования сложной функции:

$1 = -(1 + \text{ctg}^2 y) \cdot \frac{dy}{dx}$

Выразим отсюда $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + \text{ctg}^2 y}$

Так как $x = \text{ctg } y$, мы можем подставить $x$ в это выражение:

$\frac{dy}{dx} = (\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

Эта формула верна для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $(\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$.