Страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

21. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=3\arccos x$, $g(x)=\arccos\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)$, $h(x)=\frac{1}{3}\arccos x^3$,

$u(x)=-\frac{1}{4}\arccos(2x^2-1)$;

б) $f(x)=0,2\text{arcctg}5x$, $g(x)=0,6\text{arcctg}\left(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7}\right)$, $h(x)=\frac{1}{12}\text{arctg}3x^4$,

$u(x)=-\frac{1}{7}\text{arcctg}(14x^2-1)$.

а)

Для функции $f(x)=3\arccos x$ используем правило дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot v(x))' = c \cdot v'(x)$ и производную арккосинуса $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$f'(x) = (3\arccos x)' = 3 \cdot (\arccos x)' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для функции $g(x)=\arccos(2x+\frac{\pi}{5})$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\arccos(v(x)))' = -\frac{v'(x)}{\sqrt{1-v(x)^2}}$. В данном случае $v(x) = 2x+\frac{\pi}{5}$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (2x+\frac{\pi}{5})' = 2$.
$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}} \cdot (2x+\frac{\pi}{5})' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}}$.

Для функции $h(x)=\frac{1}{3}\arccos x^3$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = x^3$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
$h'(x) = \frac{1}{3} \cdot (\arccos x^3)' = \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\right) \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^6}}\right) \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{3\sqrt{1-x^6}} = -\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{4}\arccos(2x^2-1)$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = 2x^2-1$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (2x^2-1)' = 4x$.
$u'(x) = \frac{1}{4} \cdot (\arccos(2x^2-1))' = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}\right) \cdot (2x^2-1)' = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(4x^4-4x^2+1)}}\right) \cdot 4x$.
$u'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-4x^4+4x^2-1}} = -\frac{x}{\sqrt{4x^2-4x^4}} = -\frac{x}{\sqrt{4x^2(1-x^2)}} = -\frac{x}{2|x|\sqrt{1-x^2}}$.
Это выражение можно записать в виде: $u'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} & \text{при } x > 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} & \text{при } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $u'(x) = -\frac{x}{2|x|\sqrt{1-x^2}}$.

б)

Для функции $f(x)=0,2\operatorname{arcctg}5x = \frac{1}{5}\operatorname{arcctg}5x$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\operatorname{arcctg}(v(x)))' = -\frac{v'(x)}{1+v(x)^2}$. В данном случае $v(x) = 5x$.
$v'(x) = (5x)' = 5$.
$f'(x) = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{1+(5x)^2}\right) \cdot 5 = -\frac{5}{5(1+25x^2)} = -\frac{1}{1+25x^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{1+25x^2}$.

Для функции $g(x)=0,6\operatorname{arcctg}(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7}) = \frac{3}{5}\operatorname{arcctg}(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = \frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7}$.
$v'(x) = (\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})' = \frac{5}{3}$.
$g'(x) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{1}{1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2}\right) \cdot \frac{5}{3} = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3 \cdot (1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2)} = -\frac{1}{1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{1}{1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2}$.

Для функции $h(x)=\frac{1}{12}\operatorname{arcctg}3x^4$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = 3x^4$.
$v'(x) = (3x^4)' = 12x^3$.
$h'(x) = \frac{1}{12} \cdot \left(-\frac{1}{1+(3x^4)^2}\right) \cdot (3x^4)' = \frac{1}{12} \left(-\frac{1}{1+9x^8}\right) \cdot 12x^3 = -\frac{12x^3}{12(1+9x^8)} = -\frac{x^3}{1+9x^8}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{x^3}{1+9x^8}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{7}\operatorname{arcctg}(14x^2-1)$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = 14x^2-1$.
$v'(x) = (14x^2-1)' = 28x$.
$u'(x) = \frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{1}{1+(14x^2-1)^2}\right) \cdot (14x^2-1)' = \frac{1}{7} \left(-\frac{1}{1+(14x^2-1)^2}\right) \cdot 28x = -\frac{28x}{7(1+(14x^2-1)^2)} = -\frac{4x}{1+(14x^2-1)^2}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{4x}{1+(14x^2-1)^2}$.

22. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=\sqrt{x+2}$, $g(x)=2\sqrt{\frac{x}{2}-8}$, $h(x)=-4\sqrt{14-\sin x}$, $u(x)=-4\sqrt{\sin 7x+5}$.

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Также будем использовать производную степенной функции, в частности, производную квадратного корня: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

f(x) = $\sqrt{x+2}$

Эта функция является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень $y(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция — $u(x) = x+2$.

Найдём производную внутренней функции:

$u'(x) = (x+2)' = 1$.

Теперь применим цепное правило:

$f'(x) = (\sqrt{x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \cdot (x+2)' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

g(x) = $2\sqrt{\frac{x}{2}-8}$

Здесь у нас сложная функция с постоянным множителем 2. Сначала вынесем константу за знак производной.

$g'(x) = (2\sqrt{\frac{x}{2}-8})' = 2 \cdot (\sqrt{\frac{x}{2}-8})'$.

Внутренняя функция здесь $u(x) = \frac{x}{2}-8$. Её производная:

$u'(x) = (\frac{x}{2}-8)' = \frac{1}{2}$.

Применяем цепное правило для оставшейся части:

$(\sqrt{\frac{x}{2}-8})' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}} \cdot (\frac{x}{2}-8)' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}} \cdot \frac{1}{2}$.

Теперь умножим на константу 2:

$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4\sqrt{\frac{x}{2}-8}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}}$.

Ответ: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}}$

h(x) = $-4\sqrt{14-\sin x}$

Эта функция также сложная с постоянным множителем -4.

$h'(x) = (-4\sqrt{14-\sin x})' = -4 \cdot (\sqrt{14-\sin x})'$.

Внутренняя функция $u(x) = 14-\sin x$. Её производная:

$u'(x) = (14-\sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.

Применяем цепное правило:

$(\sqrt{14-\sin x})' = \frac{1}{2\sqrt{14-\sin x}} \cdot (14-\sin x)' = \frac{1}{2\sqrt{14-\sin x}} \cdot (-\cos x)$.

Умножаем на константу -4:

$h'(x) = -4 \cdot \frac{-\cos x}{2\sqrt{14-\sin x}} = \frac{4\cos x}{2\sqrt{14-\sin x}} = \frac{2\cos x}{\sqrt{14-\sin x}}$.

Ответ: $h'(x) = \frac{2\cos x}{\sqrt{14-\sin x}}$

u(x) = $-4\sqrt{\sin(7x)+5}$

Это многократно вложенная сложная функция. Применим цепное правило последовательно.

$u'(x) = (-4\sqrt{\sin(7x)+5})' = -4 \cdot (\sqrt{\sin(7x)+5})'$.

Внешняя функция $y(v) = \sqrt{v}$, а внутренняя $v(x) = \sin(7x)+5$.

Найдём производную внутренней функции $v(x)$, которая сама является сложной функцией. В ней внешняя функция $w(z) = \sin z + 5$, а внутренняя $z(x) = 7x$.

$v'(x) = (\sin(7x)+5)' = (\sin(7x))' + (5)' = \cos(7x) \cdot (7x)' + 0 = 7\cos(7x)$.

Теперь применяем цепное правило к исходной функции:

$(\sqrt{\sin(7x)+5})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} \cdot (\sin(7x)+5)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} \cdot 7\cos(7x)$.

Наконец, умножаем на константу -4:

$u'(x) = -4 \cdot \frac{7\cos(7x)}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} = \frac{-28\cos(7x)}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} = -\frac{14\cos(7x)}{\sqrt{\sin(7x)+5}}$.

Ответ: $u'(x) = -\frac{14\cos(7x)}{\sqrt{\sin(7x)+5}}$

23. Найдите значения переменной $x$, при которых производная функции $f(x)$ равна $a$.

а) $f(x)=3\sin x, a=1,5;$

б) $f(x)=5\cos 4x+8\pi, a=10\sqrt{3};$

в) $f(x)=9\sin 4x-15x, a=3;$

г) $f(x)=0,3\text{ctg}(10\pi x)+9\pi x, a=6\pi.$

а) Дана функция $f(x) = 3\sin x$ и значение производной $a = 1,5$. Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (3\sin x)' = 3\cos x$. Теперь приравняем производную к заданному значению $a$: $f'(x) = a \implies 3\cos x = 1,5$. Решим полученное уравнение: $\cos x = \frac{1,5}{3} = 0,5$. Общее решение этого тригонометрического уравнения: $x = \pm\arccos(0,5) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = 5\cos 4x + 8\pi$ и значение производной $a = 10\sqrt{3}$. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и тот факт, что производная константы равна нулю: $f'(x) = (5\cos 4x + 8\pi)' = 5(-\sin 4x) \cdot (4x)' + 0 = -20\sin 4x$. Приравняем производную к значению $a$: $-20\sin 4x = 10\sqrt{3}$. Решим уравнение: $\sin 4x = -\frac{10\sqrt{3}}{20} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение этого уравнения имеет вид: $4x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем: $4x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$. Разделим обе части на 4: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = 9\sin 4x - 15x$ и значение производной $a = 3$. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (9\sin 4x - 15x)' = 9\cos 4x \cdot (4x)' - 15 = 36\cos 4x - 15$. Приравняем производную к значению $a$: $36\cos 4x - 15 = 3$. Решим полученное уравнение: $36\cos 4x = 3 + 15 = 18$. $\cos 4x = \frac{18}{36} = 0,5$. Общее решение этого уравнения: $4x = \pm\arccos(0,5) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Разделим обе части на 4: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = 0,3\operatorname{ctg}(10\pi x) + 9\pi x$ и значение производной $a = 6\pi$. Найдем производную функции $f(x)$. Производная $\operatorname{ctg}(u)$ равна $-\frac{u'}{\sin^2 u}$. $f'(x) = (0,3\operatorname{ctg}(10\pi x) + 9\pi x)' = 0,3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(10\pi x)}\right) \cdot (10\pi x)' + 9\pi = -0,3 \cdot \frac{10\pi}{\sin^2(10\pi x)} + 9\pi = -\frac{3\pi}{\sin^2(10\pi x)} + 9\pi$. Приравняем производную к значению $a$: $-\frac{3\pi}{\sin^2(10\pi x)} + 9\pi = 6\pi$. Решим уравнение: $-\frac{3\pi}{\sin^2(10\pi x)} = 6\pi - 9\pi = -3\pi$. Разделим обе части на $-3\pi$: $\frac{1}{\sin^2(10\pi x)} = 1$. $\sin^2(10\pi x) = 1$. Это уравнение равносильно тому, что $\sin(10\pi x) = 1$ или $\sin(10\pi x) = -1$. Это можно записать одним уравнением: $\cos(10\pi x) = 0$. Решение этого уравнения: $10\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части на $10\pi$: $x = \frac{\pi/2}{10\pi} + \frac{\pi n}{10\pi} = \frac{1}{20} + \frac{n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения исходной функции $10\pi x \neq \pi k$, то есть $x \neq \frac{k}{10}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Наши решения не совпадают с точками, где функция не определена, так как $\frac{1}{20} + \frac{n}{10} = \frac{1+2n}{20}$ никогда не будет равно $\frac{k}{10} = \frac{2k}{20}$, потому что числитель $1+2n$ всегда нечетный, а $2k$ всегда четный. Ответ: $x = \frac{1}{20} + \frac{n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.

24. При каких значениях переменной t выполняются одновременно два условия: $f'(t) < 0$ и $f(t) \le 0$, если $f(t) = t^2 + 4t - 5$?

Задача состоит в том, чтобы найти значения переменной $t$, для которых одновременно выполняются два условия: $f'(t) < 0$ и $f(t) \le 0$, для функции $f(t) = t^2 + 4t - 5$. Для этого необходимо решить каждое неравенство отдельно и найти пересечение их решений.

1. Решение неравенства $f'(t) < 0$

Сначала найдем производную функции $f(t)$. Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(t) = (t^2 + 4t - 5)' = 2t + 4$.

Теперь решим неравенство $f'(t) < 0$:

$2t + 4 < 0$

$2t < -4$

$t < -2$

Таким образом, первое условие выполняется при $t \in (-\infty; -2)$.

2. Решение неравенства $f(t) \le 0$

Теперь решим квадратное неравенство $t^2 + 4t - 5 \le 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$.

Графиком функции $f(t) = t^2 + 4t - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен. Следовательно, значения функции не больше нуля ($f(t) \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, второе условие выполняется при $t \in [-5; 1]$.

3. Нахождение значений $t$, удовлетворяющих обоим условиям

Для выполнения обоих условий одновременно необходимо найти пересечение полученных промежутков:

$(-\infty; -2) \cap [-5; 1]$.

Искомые значения $t$ должны быть меньше $-2$ и в то же время находиться на отрезке от $-5$ до $1$. Пересечением этих двух множеств является полуинтервал от $-5$ (включительно) до $-2$ (не включая).

Ответ: $t \in [-5; -2)$.

25. Укажите множество значений переменной $x$, для которых производная функции $f(x)=4x^3-9x^4$ отрицательна.

Для того чтобы найти множество значений переменной $x$, для которых производная функции $f(x) = 4x^3 - 9x^4$ отрицательна, сначала найдем саму производную.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (4x^3 - 9x^4)' = 4 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^4)' = 4 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 4x^3 = 12x^2 - 36x^3$.

Далее, согласно условию задачи, нам нужно найти значения $x$, при которых производная отрицательна, то есть $f'(x) < 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$12x^2 - 36x^3 < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $12x^2$:

$12x^2(1 - 3x) < 0$

Проанализируем это неравенство. Множитель $12x^2$ всегда неотрицателен, то есть $12x^2 \ge 0$. Он равен нулю при $x=0$ и положителен при $x \ne 0$.

Если $x=0$, то левая часть неравенства равна $0$, и неравенство $0 < 0$ не выполняется. Значит, $x=0$ не является решением.

Если $x \ne 0$, то множитель $12x^2$ строго положителен. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель $(1 - 3x)$ должен быть строго отрицательным:

$1 - 3x < 0$

$1 < 3x$

$\frac{1}{3} < x$ или $x > \frac{1}{3}$.

Данный интервал $x > \frac{1}{3}$ не включает $x=0$, поэтому он полностью удовлетворяет нашему анализу.

Таким образом, производная функции отрицательна при всех $x$ из интервала $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

26. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а) $f(x) = \frac{2x-1}{2x+1}$, $x_0 = 0.5$;

б) $f(x) = \frac{x^3+1}{x^3+2}$, $x_0 = 0$;

В) $f(x) = \frac{3x-1}{x+4}$, $x_0 = -3$;

Г) $f(x) = \frac{6x+2}{3x-5}$, $x_0 = 2$.

Для решения всех задач мы будем использовать правило дифференцирования частного двух функций: Если $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то ее производная $f'(x) = (\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{2x-1}{2x+1}$ и точка $x_0 = 0,5$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$.
Производные этих функций: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 2$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{2(2x+1) - (2x-1) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \frac{4x+2 - 4x+2}{(2x+1)^2} = \frac{4}{(2x+1)^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:
$f'(0,5) = \frac{4}{(2 \cdot 0,5 + 1)^2} = \frac{4}{(1+1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: 1

б) Дана функция $f(x) = \frac{x^3+1}{x^3+2}$ и точка $x_0 = 0$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = x^3+1$ и $v(x) = x^3+2$.
Производные этих функций: $u'(x) = 3x^2$ и $v'(x) = 3x^2$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{3x^2(x^3+2) - (x^3+1) \cdot 3x^2}{(x^3+2)^2} = \frac{3x^5+6x^2 - 3x^5-3x^2}{(x^3+2)^2} = \frac{3x^2}{(x^3+2)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{3 \cdot 0^2}{(0^3+2)^2} = \frac{0}{2^2} = 0$.
Ответ: 0

в) Дана функция $f(x) = \frac{3x-1}{x+4}$ и точка $x_0 = -3$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = 3x-1$ и $v(x) = x+4$.
Производные этих функций: $u'(x) = 3$ и $v'(x) = 1$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{3(x+4) - (3x-1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{3x+12 - 3x+1}{(x+4)^2} = \frac{13}{(x+4)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:
$f'(-3) = \frac{13}{(-3+4)^2} = \frac{13}{1^2} = 13$.
Ответ: 13

г) Дана функция $f(x) = \frac{6x+2}{3x-5}$ и точка $x_0 = 2$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = 6x+2$ и $v(x) = 3x-5$.
Производные этих функций: $u'(x) = 6$ и $v'(x) = 3$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{6(3x-5) - (6x+2) \cdot 3}{(3x-5)^2} = \frac{18x-30 - (18x+6)}{(3x-5)^2} = \frac{18x-30-18x-6}{(3x-5)^2} = \frac{-36}{(3x-5)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{-36}{(3 \cdot 2 - 5)^2} = \frac{-36}{(6-5)^2} = \frac{-36}{1^2} = -36$.
Ответ: -36