Страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

2. (1) Даны функции $f(x)=3x+2$ и $g(x)=-2x+1$. Найдите: $f(g(x)))$, $g(f(x)))$, $f(g(f(x))))$, $g(f(f(x))))).

Даны функции $f(x)=3x+2$ и $g(x)=-2x+1$. Чтобы найти композицию функций, нужно подставить одну функцию в другую в качестве аргумента.

f(g(x)). Для нахождения композиции функций $f(g(x))$ подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо $x$.
$f(g(x)) = f(-2x+1) = 3(-2x+1) + 2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3 \cdot (-2x) + 3 \cdot 1 + 2 = -6x + 3 + 2 = -6x + 5$
Ответ: $f(g(x)) = -6x+5$.

g(f(x)). Для нахождения композиции $g(f(x))$ подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо $x$.
$g(f(x)) = g(3x+2) = -2(3x+2) + 1$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-2 \cdot (3x) - 2 \cdot 2 + 1 = -6x - 4 + 1 = -6x - 3$
Ответ: $g(f(x)) = -6x-3$.

f(g(f(x))). Данная композиция является применением функции $f$ к результату $g(f(x))$. Мы уже вычислили, что $g(f(x)) = -6x-3$.
Теперь подставим это выражение в функцию $f(x)$:
$f(g(f(x))) = f(-6x-3) = 3(-6x-3) + 2$
Раскроем скобки и упростим:
$3 \cdot (-6x) + 3 \cdot (-3) + 2 = -18x - 9 + 2 = -18x - 7$
Ответ: $f(g(f(x))) = -18x-7$.

g(f(f(x))). Данная композиция является применением функции $g$ к результату $f(f(x))$. Сначала найдем $f(f(x))$.
$f(f(x)) = f(3x+2) = 3(3x+2) + 2 = 9x + 6 + 2 = 9x+8$
Теперь подставим полученное выражение $f(f(x)) = 9x+8$ в функцию $g(x)$:
$g(f(f(x))) = g(9x+8) = -2(9x+8) + 1$
Раскроем скобки и упростим:
$-2 \cdot (9x) - 2 \cdot 8 + 1 = -18x - 16 + 1 = -18x - 15$
Ответ: $g(f(f(x))) = -18x-15$.

3. (2) Пусть $f(x)$ - возрастающая, $g(x)$ - убывающая функции на интервале $(a,b)$. Что можно сказать о характере монотонности функции $h(x)=f(g(x))$ на данном интервале?

Для того чтобы определить характер монотонности сложной функции $h(x) = f(g(x))$, мы воспользуемся определениями возрастающей и убывающей функций.

По условию задачи нам дано, что функция $f(x)$ является возрастающей, а функция $g(x)$ — убывающей на интервале $(a, b)$.

Выберем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(a, b)$ так, чтобы выполнялось неравенство $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $g(x)$ является убывающей, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$.

Теперь рассмотрим значения функции $h(x)$ в точках $x_1$ и $x_2$: $h(x_1) = f(g(x_1))$ и $h(x_2) = f(g(x_2))$. Аргументами для внешней функции $f$ являются значения $g(x_1)$ и $g(x_2)$.

Мы знаем, что $g(x_1) > g(x_2)$. Так как функция $f(x)$ является возрастающей, то для ее аргументов выполняется правило: большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, из $g(x_1) > g(x_2)$ вытекает, что $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$.

Таким образом, мы получили, что $h(x_1) > h(x_2)$.

Подведем итог: мы взяли $x_1 < x_2$ и получили, что $h(x_1) > h(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $h(x)$ является убывающей на интервале $(a, b)$.

Ответ: Функция $h(x) = f(g(x))$ является убывающей на данном интервале.

4. a)(1) Пусть $\varphi(x)=\frac{1}{x}$. Найдите $\varphi(\varphi(x))$

б)(2) $\alpha(x)=\frac{xa+1-a^2}{x-a}$, где $a$ - некоторое число. Докажите, что $\alpha(\alpha(x))=x$.

a)(1)Дана функция $φ(x) = \frac{1}{x}$. Чтобы найти композицию функции с самой собой, то есть $φ(φ(x))$, необходимо подставить выражение для $φ(x)$ в качестве аргумента в эту же функцию.

Выполним подстановку:

$φ(φ(x)) = φ(\frac{1}{x})$

Теперь применим определение функции $φ(x)$ к новому аргументу $\frac{1}{x}$. Это означает, что мы должны найти обратное значение для $\frac{1}{x}$:

$φ(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = 1 \cdot \frac{x}{1} = x$

Таким образом, $φ(φ(x)) = x$.

Ответ: $x$

б)(2)Дана функция $α(x) = \frac{xa + 1 - a^2}{x - a}$, где $a$ — некоторое число. Требуется доказать, что $α(α(x)) = x$.

Для доказательства найдем $α(α(x))$, подставив выражение $α(x)$ вместо переменной $x$ в саму функцию $α(x)$:

$α(α(x)) = α\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right) = \frac{\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right)a + 1 - a^2}{\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right) - a}$

Упростим числитель и знаменатель полученной "многоэтажной" дроби по отдельности.

Числитель:

$\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right)a + 1 - a^2 = \frac{a(xa + 1 - a^2)}{x - a} + \frac{(1 - a^2)(x - a)}{x - a}$

$= \frac{xa^2 + a - a^3 + x - a - xa^2 + a^3}{x - a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе полученного выражения:

$= \frac{(xa^2 - xa^2) + (a - a) + (-a^3 + a^3) + x}{x - a} = \frac{x}{x - a}$

Знаменатель:

$\left(\frac{xa + 1 - a^2}{x - a}\right) - a = \frac{xa + 1 - a^2}{x - a} - \frac{a(x-a)}{x-a}$

$= \frac{xa + 1 - a^2 - (xa - a^2)}{x - a} = \frac{xa + 1 - a^2 - xa + a^2}{x - a}$

Приведем подобные слагаемые:

$= \frac{(xa - xa) + (-a^2 + a^2) + 1}{x - a} = \frac{1}{x - a}$

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в исходную дробь:

$α(α(x)) = \frac{\frac{x}{x - a}}{\frac{1}{x - a}} = \frac{x}{x - a} \cdot \frac{x - a}{1} = x$

Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5. Пусть $g(x)=2x+2$, $f(x)=-x+4$

a)(1) Решите уравнение: $g(f(x))=f(x)$.

б)(3) При каких значениях x значение функции $g(x)$ не больше значения функции $f(g(x))$?

a) Для решения уравнения $g(f(x))=f(x)$ сначала найдем выражение для сложной функции $g(f(x))$. Нам даны функции $g(x)=2x+2$ и $f(x)=-x+4$.

Чтобы найти $g(f(x))$, подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$:

$g(f(x)) = 2(f(x)) + 2 = 2(-x+4) + 2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$g(f(x)) = -2x + 8 + 2 = -2x + 10$

Теперь, когда у нас есть выражения для обеих частей, составим и решим уравнение $g(f(x))=f(x)$:

$-2x + 10 = -x + 4$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$10 - 4 = -x + 2x$

$6 = x$

Ответ: $x=6$.

б) Нам нужно найти все значения $x$, при которых значение функции $g(x)$ не больше значения функции $f(g(x))$. Данное условие можно записать в виде неравенства: $g(x) \le f(g(x))$.

Для начала найдем выражение для сложной функции $f(g(x))$. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$:

$f(g(x)) = -(g(x)) + 4 = -(2x+2) + 4$

Раскроем скобки и упростим:

$f(g(x)) = -2x - 2 + 4 = -2x + 2$

Теперь составим и решим неравенство $g(x) \le f(g(x))$:

$2x + 2 \le -2x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + 2x \le 2 - 2$

$4x \le 0$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le 0$

Неравенство выполняется для всех значений $x$, которые меньше или равны нулю. В виде интервала это можно записать как $(-\infty, 0]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

6. (2) Заданы функции $h(x) = x$ и $f(x) = \frac{2x-1}{x}$. Найдите композиции

а) $h(f(x))$,

б) $f(h(x)).

а) h(f(x)) Композиция функций $h(f(x))$ означает, что мы должны подставить функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $h(x)$. Нам даны функции $h(x) = x$ и $f(x) = \frac{2x-1}{x}$. Для того чтобы найти $h(f(x))$, мы заменяем каждый $x$ в выражении для $h(x)$ на выражение для $f(x)$. $h(f(x)) = f(x)$ Теперь подставляем само выражение для $f(x)$: $h(f(x)) = \frac{2x-1}{x}$. Ответ: $h(f(x)) = \frac{2x-1}{x}$.

б) f(h(x)) Композиция функций $f(h(x))$ означает, что мы должны подставить функцию $h(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$. Нам даны функции $f(x) = \frac{2x-1}{x}$ и $h(x) = x$. Для того чтобы найти $f(h(x))$, мы заменяем каждый $x$ в выражении для $f(x)$ на выражение для $h(x)$. $f(h(x)) = \frac{2(h(x))-1}{h(x)}$ Теперь подставляем само выражение для $h(x)$, то есть $x$: $f(h(x)) = \frac{2x-1}{x}$. Ответ: $f(h(x)) = \frac{2x-1}{x}$.

7. (3) Даны функции $g(x) = \frac{2x+3}{x-4}$ и $f(x) = \frac{x}{x+1}$.

Решите неравенства:

а) $g(f(x))<1$;

б) $f(g(x))>0$;

в) $f(g(x))>-1$.

a) Решим неравенство $g(f(x)) < 1$.

Сначала найдем композицию функций $g(f(x))$. Для этого подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$:

$g(f(x)) = \frac{2f(x)+3}{f(x)-4} = \frac{2\left(\frac{x}{x+1}\right)+3}{\frac{x}{x+1}-4}$

Упростим полученное выражение, домножив числитель и знаменатель на $(x+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$g(f(x)) = \frac{2x + 3(x+1)}{x - 4(x+1)} = \frac{2x+3x+3}{x-4x-4} = \frac{5x+3}{-3x-4}$

Область определения исходной сложной функции $g(f(x))$ имеет два ограничения. Во-первых, знаменатель $f(x)$ не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Во-вторых, знаменатель $g(f(x))$ не должен быть равен нулю: $f(x)-4 \neq 0 \implies \frac{x}{x+1} \neq 4 \implies x \neq 4(x+1) \implies x \neq 4x+4 \implies -3x \neq 4 \implies x \neq -4/3$. Таким образом, область определения: $x \neq -1$ и $x \neq -4/3$.

Теперь решим неравенство $g(f(x)) < 1$:

$\frac{5x+3}{-3x-4} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{5x+3}{-3x-4} - 1 < 0$

$\frac{5x+3 - (-3x-4)}{-3x-4} < 0$

$\frac{5x+3 + 3x+4}{-3x-4} < 0$

$\frac{8x+7}{-3x-4} < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{8x+7}{3x+4} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $8x+7=0 \implies x = -7/8$.

Нуль знаменателя: $3x+4=0 \implies x = -4/3$.

Отметим точки $-4/3$ и $-7/8$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -4/3)$, $(-4/3, -7/8)$ и $(-7/8, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{8x+7}{3x+4}$ на каждом интервале.При $x > -7/8$ (например, $x=0$), выражение $\frac{+}{+} > 0$.При $x \in (-4/3, -7/8)$ (например, $x=-1$), выражение $\frac{-}{+} < 0$.При $x < -4/3$ (например, $x=-2$), выражение $\frac{-}{-} > 0$.

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, следовательно, решением является объединение интервалов, где стоит знак "+": $x \in (-\infty, -4/3) \cup (-7/8, \infty)$.

Это решение не противоречит области определения ($x \neq -1$ и $x \neq -4/3$), так как точка $x = -4/3$ уже исключена, а точка $x=-1$ находится в интервале $(-4/3, -7/8)$, который не входит в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3) \cup (-7/8, \infty)$.

б) Решим неравенство $f(g(x)) > 0$.

Найдем композицию функций $f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = \frac{g(x)}{g(x)+1} = \frac{\frac{2x+3}{x-4}}{\frac{2x+3}{x-4}+1}$

Упростим выражение, домножив числитель и знаменатель на $(x-4)$:

$f(g(x)) = \frac{2x+3}{(2x+3) + 1(x-4)} = \frac{2x+3}{3x-1}$

Область определения $f(g(x))$ требует, чтобы знаменатель $g(x)$ не был равен нулю ($x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$) и знаменатель $f(g(x))$ не был равен нулю ($g(x)+1 \neq 0 \implies \frac{2x+3}{x-4} \neq -1 \implies 2x+3 \neq -x+4 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$). Итак, область определения: $x \neq 4$ и $x \neq 1/3$.

Решим неравенство $f(g(x)) > 0$:

$\frac{2x+3}{3x-1} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x+3=0 \implies x = -3/2$.

Нуль знаменателя: $3x-1=0 \implies x = 1/3$.

Отметим точки $-3/2$ и $1/3$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty, -3/2)$, $(-3/2, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x+3}{3x-1}$ на интервалах.При $x > 1/3$ (например, $x=1$), выражение $\frac{+}{+} > 0$.При $x \in (-3/2, 1/3)$ (например, $x=0$), выражение $\frac{+}{-} < 0$.При $x < -3/2$ (например, $x=-2$), выражение $\frac{-}{-} > 0$.

Решением является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -3/2) \cup (1/3, \infty)$.

Теперь учтем область определения: $x \neq 4$ и $x \neq 1/3$. Точка $x=1/3$ уже исключена. Точка $x=4$ попадает в интервал $(1/3, \infty)$, поэтому ее необходимо исключить, разбив этот интервал на два.

Ответ: $x \in (-\infty, -3/2) \cup (1/3, 4) \cup (4, \infty)$.

в) Решим неравенство $f(g(x)) > -1$.

Из пункта б) мы знаем, что $f(g(x)) = \frac{2x+3}{3x-1}$, а область определения этой функции: $x \neq 4$ и $x \neq 1/3$.

Решим неравенство:

$\frac{2x+3}{3x-1} > -1$

Перенесем -1 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x+3}{3x-1} + 1 > 0$

$\frac{2x+3 + (3x-1)}{3x-1} > 0$

$\frac{5x+2}{3x-1} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x+2=0 \implies x = -2/5$.

Нуль знаменателя: $3x-1=0 \implies x = 1/3$.

Отметим точки $-2/5$ и $1/3$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty, -2/5)$, $(-2/5, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5x+2}{3x-1}$ на интервалах.При $x > 1/3$ (например, $x=1$), выражение $\frac{+}{+} > 0$.При $x \in (-2/5, 1/3)$ (например, $x=0$), выражение $\frac{+}{-} < 0$.При $x < -2/5$ (например, $x=-1$), выражение $\frac{-}{-} > 0$.

Решением является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -2/5) \cup (1/3, \infty)$.

Учтем область определения ($x \neq 4$ и $x \neq 1/3$). Точка $x=1/3$ уже исключена. Точка $x=4$ находится в интервале $(1/3, \infty)$, поэтому мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -2/5) \cup (1/3, 4) \cup (4, \infty)$.

33. Вычислите:

а) $g'(0)$, если $g(x) = x^6 (7-x)^7$;

б) $h'(2)$, если $h(x) = (3-x)^5 (2x-3)^4$;

в) $u'(-1)$, если $u(x) = \left(\frac{2}{x} + 3\right)^6 (3x+4)^{10}$;

г) $f'(-0,5)$, если $g(x) = 4x(8x+5)^5$.

а) Чтобы найти производную функции $g(x) = x^6(7-x)^7$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^6$ и $v(x) = (7-x)^7$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$.
Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(h(x)))' = f'(h(x)) \cdot h'(x)$.
$v'(x) = ((7-x)^7)' = 7(7-x)^{7-1} \cdot (7-x)' = 7(7-x)^6 \cdot (-1) = -7(7-x)^6$.
Теперь найдем производную $g'(x)$:
$g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 6x^5(7-x)^7 + x^6(-7(7-x)^6) = 6x^5(7-x)^7 - 7x^6(7-x)^6$.
Вычислим значение производной в точке $x=0$:
$g'(0) = 6(0)^5(7-0)^7 - 7(0)^6(7-0)^6 = 6 \cdot 0 \cdot 7^7 - 7 \cdot 0 \cdot 7^6 = 0 - 0 = 0$.
Ответ: $0$.

б) Дана функция $h(x) = (3-x)^5(2x-3)^4$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = (3-x)^5$ и $v(x) = (2x-3)^4$.
Найдем их производные, используя правило для сложной функции:
$u'(x) = ((3-x)^5)' = 5(3-x)^4 \cdot (3-x)' = 5(3-x)^4 \cdot (-1) = -5(3-x)^4$.
$v'(x) = ((2x-3)^4)' = 4(2x-3)^3 \cdot (2x-3)' = 4(2x-3)^3 \cdot 2 = 8(2x-3)^3$.
Производная функции $h(x)$ равна:
$h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -5(3-x)^4(2x-3)^4 + (3-x)^5 \cdot 8(2x-3)^3$.
Вычислим значение производной в точке $x=2$:
$h'(2) = -5(3-2)^4(2 \cdot 2 - 3)^4 + (3-2)^5 \cdot 8(2 \cdot 2 - 3)^3$.
$h'(2) = -5(1)^4(4-3)^4 + (1)^5 \cdot 8(4-3)^3 = -5 \cdot 1 \cdot 1^4 + 1 \cdot 8 \cdot 1^3 = -5 + 8 = 3$.
Ответ: $3$.

в) Дана функция $u(x) = \left(\frac{2}{x}+3\right)^6(3x+4)^{10}$. Применим правило дифференцирования произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.
Пусть $f(x) = \left(\frac{2}{x}+3\right)^6$ и $g(x) = (3x+4)^{10}$.
Найдем их производные:
$f'(x) = 6\left(\frac{2}{x}+3\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{x}+3\right)' = 6\left(\frac{2}{x}+3\right)^5 \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{12}{x^2}\left(\frac{2}{x}+3\right)^5$.
$g'(x) = 10(3x+4)^9 \cdot (3x+4)' = 10(3x+4)^9 \cdot 3 = 30(3x+4)^9$.
Производная функции $u(x)$:
$u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = -\frac{12}{x^2}\left(\frac{2}{x}+3\right)^5(3x+4)^{10} + \left(\frac{2}{x}+3\right)^6 \cdot 30(3x+4)^9$.
Вычислим значение производной в точке $x=-1$. Сначала найдем значения выражений в скобках:
При $x=-1$, $\frac{2}{x}+3 = \frac{2}{-1}+3 = -2+3 = 1$.
При $x=-1$, $3x+4 = 3(-1)+4 = -3+4 = 1$.
Подставим эти значения в выражение для производной:
$u'(-1) = -\frac{12}{(-1)^2}(1)^5(1)^{10} + (1)^6 \cdot 30(1)^9 = -\frac{12}{1} \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 30 \cdot 1 = -12 + 30 = 18$.
Ответ: $18$.

г) В условии, по-видимому, опечатка. Будем считать, что нужно найти $f'(-0.5)$, если $f(x) = 4x(8x+5)^5$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = (8x+5)^5$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (4x)' = 4$.
$v'(x) = ((8x+5)^5)' = 5(8x+5)^4 \cdot (8x+5)' = 5(8x+5)^4 \cdot 8 = 40(8x+5)^4$.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 4(8x+5)^5 + 4x \cdot 40(8x+5)^4 = 4(8x+5)^5 + 160x(8x+5)^4$.
Вычислим значение производной в точке $x=-0.5$:
Сначала найдем значение выражения $8x+5$ при $x=-0.5$:
$8(-0.5)+5 = -4+5=1$.
Подставим это значение в выражение для производной:
$f'(-0.5) = 4(1)^5 + 160(-0.5)(1)^4 = 4 \cdot 1 + 160(-0.5) \cdot 1 = 4 - 80 = -76$.
Ответ: $-76$.

34. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x)\ge0$, если $f(x)=2\sin x-x$;

б) $f'(x)\ge0$, если $f(x)=\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x$;

в) $f'(x)\le\pi+3$, если $f(x)=\sin 2\pi x+3x$;

г) $f'(x)\le\sin x$, если $f(x)=\sin x$.

a) Дано неравенство $f'(x) \ge 0$ и функция $f(x) = 2\sin x - x$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2\sin x - x)' = 2(\sin x)' - (x)' = 2\cos x - 1$.

2. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$2\cos x - 1 \ge 0$

$2\cos x \ge 1$

$\cos x \ge \frac{1}{2}$

3. Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность промежутков. На единичной окружности косинус (абсцисса точки) больше или равен $\frac{1}{2}$ для углов в промежутке от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности функции косинус, общее решение имеет вид:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано неравенство $f'(x) \ge 0$ и функция $f(x) = \tg x + \ctg x$.

1. Найдем область определения функции $f(x)$. Так как $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$, необходимо, чтобы $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\tg x + \ctg x)' = (\tg x)' + (\ctg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$.

3. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$ на области определения:

$\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \ge 0$

Знаменатель $\sin^2 x \cos^2 x$ в области определения функции строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$\sin^2 x - \cos^2 x \ge 0$

$-(\cos^2 x - \sin^2 x) \ge 0$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем:

$-\cos(2x) \ge 0$

$\cos(2x) \le 0$

4. Решим полученное тригонометрическое неравенство. Косинус неположителен во второй и третьей четвертях. Решением неравенства $\cos u \le 0$ является $u \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $u = 2x$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим все части на 2:

$\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Учтем область определения $x \ne \frac{\pi k}{2}$. В найденном интервале $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n]$ находится точка $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, которую необходимо исключить. Таким образом, решение разбивается на два интервала.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано неравенство $f'(x) \le \pi+3$ и функция $f(x) = \sin(2\pi x) + 3x$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin(2\pi x) + 3x)' = \cos(2\pi x) \cdot (2\pi x)' + 3 = 2\pi \cos(2\pi x) + 3$.

2. Решим неравенство $f'(x) \le \pi+3$:

$2\pi \cos(2\pi x) + 3 \le \pi + 3$

$2\pi \cos(2\pi x) \le \pi$

$\cos(2\pi x) \le \frac{\pi}{2\pi}$

$\cos(2\pi x) \le \frac{1}{2}$

3. Решим полученное тригонометрическое неравенство. Пусть $u = 2\pi x$. Неравенство принимает вид $\cos u \le \frac{1}{2}$.

Решением неравенства $\cos u \le \frac{1}{2}$ является $u \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $u = 2\pi x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 2\pi x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на $2\pi$:

$\frac{1}{6} + k \le x \le \frac{5}{6} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{6} + k; \frac{5}{6} + k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано неравенство $f'(x) \le \sin x$ и функция $f(x) = \sin x$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Решим неравенство $f'(x) \le \sin x$:

$\cos x \le \sin x$

$\cos x - \sin x \le 0$

3. Для решения этого неравенства воспользуемся методом вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) \le 0$

Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$, мы можем переписать выражение в скобках, используя формулу косинуса суммы:

$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) \le 0$

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 0$

Разделим на $\sqrt{2} > 0$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 0$

4. Пусть $u = x + \frac{\pi}{4}$. Решаем неравенство $\cos u \le 0$. Решением является $u \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

35. (4) Некоторые из 11 больших коробок содержат по 8 средних коробок, некоторые из средних коробок содержат по 8 маленьких коробок. Среди всех этих коробок 102 пустых. Сколько всего коробок?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:
Пусть $N$ – это общее количество всех коробок (больших, средних и маленьких).
Пусть $E$ – это общее количество пустых коробок.
Пусть $F$ – это общее количество непустых (полных) коробок, то есть тех, в которых находятся другие коробки.

Согласно условию, общее число пустых коробок равно 102. Таким образом, мы можем записать: $E = 102$.

Общее количество коробок $N$ всегда равно сумме пустых и непустых коробок. Это дает нам первое уравнение:
$N = E + F = 102 + F$

Теперь рассмотрим, из чего складывается общее количество коробок с другой точки зрения. Изначально у нас есть 11 больших коробок. Все остальные коробки (средние и маленькие) появляются внутри непустых коробок.
Непустыми считаются те большие коробки, в которых лежат средние, и те средние, в которых лежат маленькие. По условию, каждая такая непустая коробка содержит ровно 8 коробок меньшего размера. Если общее число непустых коробок равно $F$, то общее число всех вложенных коробок (средних и маленьких) составляет $8 \times F$.

Следовательно, общее количество коробок $N$ можно также выразить как сумму 11 исходных больших коробок и всех коробок, которые лежат внутри них. Это дает нам второе уравнение:
$N = 11 + 8 \times F$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $N$ и $F$:
1) $N = 102 + F$
2) $N = 11 + 8F$
Поскольку левые части этих уравнений равны (обе равны $N$), мы можем приравнять их правые части: $102 + F = 11 + 8F$.

Решим полученное уравнение, чтобы найти $F$. Перенесем слагаемые с переменной $F$ в правую часть, а числовые значения – в левую:
$102 - 11 = 8F - F$
$91 = 7F$
Отсюда находим $F$:
$F = \frac{91}{7} = 13$
Таким образом, всего в задаче 13 непустых коробок.

Чтобы найти общее количество коробок $N$, подставим найденное значение $F = 13$ в любое из первоначальных уравнений. Используем первое уравнение:
$N = 102 + F = 102 + 13 = 115$
Для проверки подставим значение $F$ во второе уравнение:
$N = 11 + 8 \times F = 11 + 8 \times 13 = 11 + 104 = 115$
Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 115 коробок.

36. (3)
Турист проехал расстояние между двумя городами за три дня. В первый день он проехал $ \frac{1}{5} $ всего пути и еще 60 км, во второй день он проехал $ \frac{1}{4} $ всего пути и еще 20 км и в третий день $ \frac{23}{80} $ всего пути и оставшиеся 25 км. Найдите расстояние между городами.

Пусть $S$ км — это искомое расстояние между городами.

Исходя из условий задачи, запишем, какое расстояние турист проезжал каждый день:

В первый день: $(\frac{1}{5}S + 60)$ км.

Во второй день: $(\frac{1}{4}S + 20)$ км.

В третий день: $(\frac{23}{80}S + 25)$ км.

Так как за три дня турист проехал весь путь, сумма расстояний за каждый день равна общему расстоянию $S$. Составим уравнение:

$(\frac{1}{5}S + 60) + (\frac{1}{4}S + 20) + (\frac{23}{80}S + 25) = S$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $S$, и числовые слагаемые:

$(\frac{1}{5}S + \frac{1}{4}S + \frac{23}{80}S) + (60 + 20 + 25) = S$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, который равен 80:

$\frac{1}{5} = \frac{16}{80}$; $\frac{1}{4} = \frac{20}{80}$

Подставим полученные значения в уравнение и выполним сложение:

$(\frac{16}{80}S + \frac{20}{80}S + \frac{23}{80}S) + 105 = S$

$\frac{16+20+23}{80}S + 105 = S$

$\frac{59}{80}S + 105 = S$

Перенесем слагаемые с переменной $S$ в одну часть уравнения, чтобы выразить $S$:

$105 = S - \frac{59}{80}S$

Представим $S$ как $\frac{80}{80}S$ и выполним вычитание:

$105 = \frac{80}{80}S - \frac{59}{80}S$

$105 = \frac{21}{80}S$

Теперь найдем $S$:

$S = 105 \div \frac{21}{80}$

$S = 105 \times \frac{80}{21}$

$S = \frac{105 \times 80}{21}$

Так как $105 \div 21 = 5$, получаем:

$S = 5 \times 80 = 400$

Ответ: 400 км.

37.(2) Решите систему уравнений: $\begin{cases} x+|y|=2, \\ 3x+|y|=4. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + |y| = 2, \\3x + |y| = 4.\end{cases}$

Это система, в которой одна из переменных находится под знаком модуля. Можно рассматривать $|y|$ как отдельную переменную и решить систему относительно $x$ и $|y|$. Удобнее всего использовать метод алгебраического вычитания.

Вычтем из второго уравнения системы первое уравнение:

$(3x + |y|) - (x + |y|) = 4 - 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + |y| - x - |y| = 2$

$2x = 2$

Отсюда находим значение переменной $x$:

$x = \frac{2}{2} = 1$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти значение $|y|$:

$1 + |y| = 2$

Выразим $|y|$:

$|y| = 2 - 1$

$|y| = 1$

Уравнение $|y| = 1$ означает, что значение переменной $y$ может быть либо $1$, либо $-1$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -1$

Таким образом, система имеет два решения, так как значению $x=1$ соответствуют два значения $y$.

Решения системы в виде пар $(x; y)$:

$(1; 1)$ и $(1; -1)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.

Для решения $(1; 1)$:

$\begin{cases}1 + |1| = 1 + 1 = 2 & \text{(верно)} \\3(1) + |1| = 3 + 1 = 4 & \text{(верно)}\end{cases}$

Для решения $(1; -1)$:

$\begin{cases}1 + |-1| = 1 + 1 = 2 & \text{(верно)} \\3(1) + |-1| = 3 + 1 = 4 & \text{(верно)}\end{cases}$

Обе пары являются решениями системы уравнений.

Ответ: $(1; 1)$, $(1; -1)$.

38. (3)

Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся как 3:2?

Примем всю работу по обработке участка земли за 1.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — это скорости (производительности) работы первой и второй бригад соответственно, то есть какую часть участка они обрабатывают за 1 час. Тогда время, за которое каждая бригада может обработать весь участок в одиночку, будет равно $t_1 = \frac{1}{v_1}$ и $t_2 = \frac{1}{v_2}$.

По условию, скорости выполнения работ бригадами относятся как 3:2, что можно записать в виде пропорции:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда скорости бригад можно выразить как $v_1 = 3x$ и $v_2 = 2x$.

Когда бригады работают вместе, их скорости складываются. Общая скорость работы равна:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = 3x + 2x = 5x$

Известно, что всю работу (равную 1) две бригады вместе выполняют за 12 часов. Работа равна произведению общей скорости на время:

$1 = v_{общ} \cdot t_{общ}$

$1 = 5x \cdot 12$

$1 = 60x$

Отсюда находим значение коэффициента $x$:

$x = \frac{1}{60}$

Теперь мы можем найти производительность каждой бригады в отдельности:

Скорость первой бригады: $v_1 = 3x = 3 \cdot \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ (участка в час).

Скорость второй бригады: $v_2 = 2x = 2 \cdot \frac{1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ (участка в час).

Наконец, найдем время, которое потребуется каждой бригаде для выполнения всей работы в одиночку:

Время для первой бригады: $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.

Время для второй бригады: $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/30} = 30$ часов.

Ответ: первая бригада могла бы обработать участок за 20 часов, а вторая бригада — за 30 часов.

39. (3) Упростите:

$\frac{a^2 + 10a + 25 + 2\sqrt{5}(\sqrt{a^3} + 5\sqrt{a})}{(a^2 - 25)((\sqrt{a^3} - \sqrt{125})(a + \sqrt{5a} + 5))^{-1}}$

39. (3)

Для упрощения данного выражения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Из-за наличия в выражении корней $\sqrt{a^3}$ и $\sqrt{a}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $a \ge 0$. Далее, знаменатель дроби не должен равняться нулю. Выражение $a^2 - 25 \neq 0$, что означает $a \neq 5$ и $a \neq -5$. Учитывая, что $a \ge 0$, получаем условие $a \neq 5$. Выражения, возводимые в отрицательную степень в знаменателе, также не должны быть равны нулю, что также приводит к условию $a \neq 5$. Итак, ОДЗ: $a \ge 0$ и $a \neq 5$.

Упростим выражение по частям, начав с числителя:

$N = a^2 + 10a + 25 + 2\sqrt{5}(\sqrt{a^3} + 5\sqrt{a})$

Первые три слагаемых образуют формулу квадрата суммы: $a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$.

Преобразуем вторую часть числителя. Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}$.

$2\sqrt{5}(\sqrt{a^3} + 5\sqrt{a}) = 2\sqrt{5}(a\sqrt{a} + 5\sqrt{a}) = 2\sqrt{5}\sqrt{a}(a+5) = 2\sqrt{5a}(a+5)$.

Теперь числитель можно записать в виде:

$N = (a+5)^2 + 2\sqrt{5a}(a+5)$.

Вынесем общий множитель $(a+5)$ за скобки:

$N = (a+5)(a+5 + 2\sqrt{5a})$.

Выражение во второй скобке, $a + 2\sqrt{5a} + 5$, является полным квадратом суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{5})$:

$a + 2\sqrt{5a} + 5 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}+\sqrt{5})^2$.

В итоге, упрощенный числитель равен: $N = (a+5)(\sqrt{a}+\sqrt{5})^2$.

Теперь упростим знаменатель:

$D = (a^2 - 25)((\sqrt{a^3} - \sqrt{125})(a + \sqrt{5a} + 5)^{-1})^{-1}$.

Рассмотрим выражение, стоящее под внешним знаком степени $-1$: $(\sqrt{a^3} - \sqrt{125})(a + \sqrt{5a} + 5)^{-1}$. Это можно записать в виде дроби:

$\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{125}}{a + \sqrt{5a} + 5}$.

Преобразуем числитель этой дроби. Мы знаем, что $\sqrt{a^3} = a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} = (\sqrt{5})^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$\sqrt{a^3} - \sqrt{125} = (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{5})^3 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(a+\sqrt{5a}+5)$.

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(a+\sqrt{5a}+5)}{a+\sqrt{5a}+5} = \sqrt{a}-\sqrt{5}$.

Теперь вернемся к полному выражению для знаменателя $D$:

$D = (a^2 - 25)(\sqrt{a}-\sqrt{5})^{-1} = \frac{a^2-25}{\sqrt{a}-\sqrt{5}}$.

Разложим числитель $a^2-25$ по формуле разности квадратов: $a^2-25 = (a-5)(a+5)$. Затем $a-5$ также разложим как разность квадратов: $a-5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})$.

Знаменатель $D$ принимает вид:

$D = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})(a+5)}{\sqrt{a}-\sqrt{5}}$.

Сократим дробь на $(\sqrt{a}-\sqrt{5})$, что допустимо, так как по ОДЗ $a \neq 5$:

$D = (\sqrt{a}+\sqrt{5})(a+5)$.

На последнем шаге разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{N}{D} = \frac{(a+5)(\sqrt{a}+\sqrt{5})^2}{(a+5)(\sqrt{a}+\sqrt{5})}$.

Сокращаем общие множители $(a+5)$ и $(\sqrt{a}+\sqrt{5})$. В результате получаем:

$\sqrt{a}+\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{a}+\sqrt{5}$

40. (2) Решите уравнения:

а) $\frac{1-x}{(2-x)(x-3)}+1=\frac{1}{2-x}$;

б) $\frac{2}{x^2-4}+\frac{x-4}{x^2+2x}=\frac{1}{x^2-2x}$.

а) Исходное уравнение: $\frac{1-x}{(2-x)(x-3)} + 1 = \frac{1}{2-x}$.Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $2-x \neq 0$ и $x-3 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq 3$.Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем к общему знаменателю $(2-x)(x-3)$:$\frac{1-x}{(2-x)(x-3)} + \frac{(2-x)(x-3)}{(2-x)(x-3)} - \frac{1 \cdot (x-3)}{(2-x)(x-3)} = 0$.Так как в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числитель к нулю:$1-x + (2-x)(x-3) - (x-3) = 0$.Раскроем скобки:$1-x + (2x - 6 - x^2 + 3x) - x + 3 = 0$.Приведем подобные слагаемые:$-x^2 + ( -1 + 2 + 3 - 1)x + (1 - 6 + 3) = 0$,$-x^2 + 3x - 2 = 0$.Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:$x^2 - 3x + 2 = 0$.Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 3$).Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель $2-x$ обращается в ноль. Этот корень является посторонним.Таким образом, уравнение имеет единственный корень.Ответ: 1

б) Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{x-4}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x^2 - 2x}$.Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель и ОДЗ:$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$,$x^2 + 2x = x(x+2)$,$x^2 - 2x = x(x-2)$.Уравнение принимает вид:$\frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-4}{x(x+2)} = \frac{1}{x(x-2)}$.Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x \neq 0$, $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$. То есть, $x \neq 0$, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.Общий знаменатель дробей — $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:$2 \cdot x + (x-4) \cdot (x-2) = 1 \cdot (x+2)$.Раскроем скобки и упростим выражение:$2x + (x^2 - 2x - 4x + 8) = x+2$,$2x + x^2 - 6x + 8 = x+2$,$x^2 - 4x + 8 = x+2$.Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$x^2 - 4x - x + 8 - 2 = 0$,$x^2 - 5x + 6 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$).Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели обращаются в ноль. Этот корень является посторонним.Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.Таким образом, уравнение имеет единственный корень.Ответ: 3

41.(2)
Найдите третий член геометрической прогрессии, если ее знаменатель равен $3$, а сумма первых четырех членов равна $40$.

Пусть $b_n$ — n-ый член геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи нам даны знаменатель прогрессии $q = 3$ и сумма первых четырех членов $S_4 = 40$. Нам необходимо найти третий член прогрессии, $b_3$.

Для нахождения $b_3$ сначала нужно определить первый член прогрессии, $b_1$. Мы можем сделать это, используя формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в эту формулу известные значения: $n=4$, $S_4 = 40$ и $q = 3$.

$40 = \frac{b_1(3^4 - 1)}{3 - 1}$

Теперь решим это уравнение относительно $b_1$:

$40 = \frac{b_1(81 - 1)}{2}$

$40 = \frac{b_1 \cdot 80}{2}$

$40 = b_1 \cdot 40$

Разделив обе части уравнения на 40, получим:

$b_1 = 1$

Теперь, зная первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 3$, мы можем найти третий член $b_3$ по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим $n=3$ в формулу:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим значения $b_1 = 1$ и $q = 3$:

$b_3 = 1 \cdot 3^2 = 1 \cdot 9 = 9$

Ответ: 9