Номер 39, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

39. (3) Упростите:

$\frac{a^2 + 10a + 25 + 2\sqrt{5}(\sqrt{a^3} + 5\sqrt{a})}{(a^2 - 25)((\sqrt{a^3} - \sqrt{125})(a + \sqrt{5a} + 5))^{-1}}$

39. (3)

Для упрощения данного выражения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Из-за наличия в выражении корней $\sqrt{a^3}$ и $\sqrt{a}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $a \ge 0$. Далее, знаменатель дроби не должен равняться нулю. Выражение $a^2 - 25 \neq 0$, что означает $a \neq 5$ и $a \neq -5$. Учитывая, что $a \ge 0$, получаем условие $a \neq 5$. Выражения, возводимые в отрицательную степень в знаменателе, также не должны быть равны нулю, что также приводит к условию $a \neq 5$. Итак, ОДЗ: $a \ge 0$ и $a \neq 5$.

Упростим выражение по частям, начав с числителя:

$N = a^2 + 10a + 25 + 2\sqrt{5}(\sqrt{a^3} + 5\sqrt{a})$

Первые три слагаемых образуют формулу квадрата суммы: $a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$.

Преобразуем вторую часть числителя. Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}$.

$2\sqrt{5}(\sqrt{a^3} + 5\sqrt{a}) = 2\sqrt{5}(a\sqrt{a} + 5\sqrt{a}) = 2\sqrt{5}\sqrt{a}(a+5) = 2\sqrt{5a}(a+5)$.

Теперь числитель можно записать в виде:

$N = (a+5)^2 + 2\sqrt{5a}(a+5)$.

Вынесем общий множитель $(a+5)$ за скобки:

$N = (a+5)(a+5 + 2\sqrt{5a})$.

Выражение во второй скобке, $a + 2\sqrt{5a} + 5$, является полным квадратом суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{5})$:

$a + 2\sqrt{5a} + 5 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}+\sqrt{5})^2$.

В итоге, упрощенный числитель равен: $N = (a+5)(\sqrt{a}+\sqrt{5})^2$.

Теперь упростим знаменатель:

$D = (a^2 - 25)((\sqrt{a^3} - \sqrt{125})(a + \sqrt{5a} + 5)^{-1})^{-1}$.

Рассмотрим выражение, стоящее под внешним знаком степени $-1$: $(\sqrt{a^3} - \sqrt{125})(a + \sqrt{5a} + 5)^{-1}$. Это можно записать в виде дроби:

$\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{125}}{a + \sqrt{5a} + 5}$.

Преобразуем числитель этой дроби. Мы знаем, что $\sqrt{a^3} = a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} = (\sqrt{5})^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$\sqrt{a^3} - \sqrt{125} = (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{5})^3 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(a+\sqrt{5a}+5)$.

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(a+\sqrt{5a}+5)}{a+\sqrt{5a}+5} = \sqrt{a}-\sqrt{5}$.

Теперь вернемся к полному выражению для знаменателя $D$:

$D = (a^2 - 25)(\sqrt{a}-\sqrt{5})^{-1} = \frac{a^2-25}{\sqrt{a}-\sqrt{5}}$.

Разложим числитель $a^2-25$ по формуле разности квадратов: $a^2-25 = (a-5)(a+5)$. Затем $a-5$ также разложим как разность квадратов: $a-5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})$.

Знаменатель $D$ принимает вид:

$D = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})(a+5)}{\sqrt{a}-\sqrt{5}}$.

Сократим дробь на $(\sqrt{a}-\sqrt{5})$, что допустимо, так как по ОДЗ $a \neq 5$:

$D = (\sqrt{a}+\sqrt{5})(a+5)$.

На последнем шаге разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{N}{D} = \frac{(a+5)(\sqrt{a}+\sqrt{5})^2}{(a+5)(\sqrt{a}+\sqrt{5})}$.

Сокращаем общие множители $(a+5)$ и $(\sqrt{a}+\sqrt{5})$. В результате получаем:

$\sqrt{a}+\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{a}+\sqrt{5}$